Prof. Dr. W. Zucchini SS 2006 Lineare Modelle 8. ¨Ubungsblatt ...

Prof. Dr. W. Zucchini SS 2006
Lineare Modelle
8. Übungsblatt
Aufgabe 1: Gemischte Modelle / Versuchsplanung
Ein großer Eishersteller plant, eine neue Eissorte in den Handel zu bringen. Die Forschungsabteilung
hat in Abstimmung mit dem Vertrieb und dem Marketing verschiedene Produkte
entwickelt. Zur Auswahl stehen die innovativen Geschmacksrichtungen Kebap, Sushi und Pizza.
Für alle Geschmacksrichtungen besteht die Möglichkeit, sie im Becher, am Stiel oder in
der Waffel zu produzieren und für die Verpackungen kommen die Designvarianten modern,
klassisch und exotisch in Frage. Für alle Produkte ist ein Preis von 2 e vorgesehen.
Das Management möchte in einem Feldversuch darüber Erkenntnisse erlangen, welches Produkt
beim Konsumenten auf die höchste Akzeptanz stoßen wird. Von Interesse ist dabei auch die
Frage, ob mit diesem Produkt die Möglichkeit besteht, neue Kundenschichten zu erschließen.
Erstellen Sie unter diesen Gesichtspunkten einen geeigneten Versuchsplan. Dieser Plan sollte zu
Daten führen, die mit den bislang behandelten Methoden auswertbar sind. Benennen Sie Ihre
Untersuchungseinheiten, zu erklärenden Variablen, Behandlungen und die Auswahlmechanismen.
Zeigen Sie, ob und inwieweit die Grundprinzipien der Versuchsplanung Berücksichtigung
finden.
Hinweis: Es gibt für diese Aufgabe keine eindeutige und zwingende Lösung.
Aufgabe 2: Matrixrechnung
Betrachten Sie die folgenden Matrizen und Vektoren:
X =
(
3 4 5
2 3 4
)
, Y =
⎛
⎜
⎝
10 12 8
6 3 4
4 5 6
⎞
⎟
⎠ , Z =
(
3 12
2 3
)
, x 1 =
⎛
⎜
⎝
6
12
11
⎞
⎟
⎠ , x 2 =
⎛
⎜
⎝
4
2
1
⎞
⎟
⎠ .
a) Berechnen Sie XY, ZX, XX ′ , x ′ 1x 2 und Xx 2 . Welche Bedingung müssen zwei Matrizen
A und B erfüllen, damit das Produkt A × B existiert? Ist dann A × B = B × A?
b) Berechnen Sie die inverse Matrix Z −1 . Was ergibt ZZ −1 ? Welche Eigenschaften muss eine
Matrix A haben, damit die inverse Matrix A −1 existiert?
c) Definieren Sie in R die obigen Matrizen und Vektoren und führen sie zur Kontrolle die
Operationen aus den Aufgabenteil a) und b) mit R durch. Ermitteln Sie zusätzlich die
Inverse von Y.

Aufgabe 3: Regression
Eine Maschine wird in zwei verschiedenen Betriebsarten genutzt. Die Funktionstüchtigkeit der
Maschine hängt von einem elektrischen Bauteil ab, das leider regelmäßig defekt ist. Es wird
vermutet, dass die Ausfallrate dieses Bauteils von den Laufzeiten in den beiden Betriebsarten
abhängt. Daher wurden neun Monate lang die Anzahl der Ausfälle y und die Laufzeiten x 1 und
x 2 der Maschine in beiden Betriebsarten im jeweiligen Monat gemessen. Dabei ergaben sich die
folgenden Daten:
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x 1i 33.3 52.2 64.7 137.0 125.9 115.3 131.7 85.0 91.9
x 2i 25.3 14.4 32.5 20.5 97.6 53.6 53.0 87.3 47.8
y i 15.0 9.0 14.0 24.0 27.0 28.0 23.0 18.0 22.0
Zusätzlich wurden die folgenden Summen bereits berechnet:
∑
yi 2 = 3 928
i
∑
∑
∑
y i = 180 x 1i = 837 x 2i = 432
i
i
i
∑
x 2 ∑
1i = 88 949.22 x 2 ∑
2i = 27 437.80 x 1i y i = 18 371.70
i
i
i
a) Führen Sie zunächst eine einfache lineare Regression mit x 1 als alleiniger erklärender
Variable durch. Formulieren Sie das Modell und dessen Annahmen, schätzen Sie die Parameter
und testen Sie die Hypothese, dass θ 1 = 0 ist. Stellen Sie den Signifikanztest auch
in der Tabelle der Varianzanalyse dar. Welches Bestimmtheitsmaß hat die Regression?
b) Formulieren Sie das zugehörige stochastische Modell der mehrfachen Regression in der
Form y = X θ + e und berechnen Sie S und S y .
c) Schätzen Sie die Parameter des Modells unter Verwendung der Ergebnisse aus b) und
berechnen Sie das Bestimmtheitsmaß der Regression.
d) Testen Sie die Hypothese, dass das vereinfachte Modell M 0 : y i = θ 0 + θ 1 x 1i + e i gilt.
Interpretieren Sie Ihr Ergebnis.
Hinweis: Der gezielte Einsatz von R kann das Rechnen erheblich erleichtern. Sie können die
gegebenen Daten per Hand in R eingeben oder den Datensatz ausfall.dat von der Homepage
herunterladen und in R einlesen.