Typische Klausurfragen in Â¨Okonometrie SS06 Stefan Sperlich ...

Typische Klausurfragen in Ökonometrie SS06 

Stefan Sperlich - Georg August Universität Göttingen 

PROBLEM 1. Betrachte das Modell y i = β T x i + ɛ i , i = 1, . . . , n mit x i ∈ IR d , für ein integer 

d > 0. 

a) Beweisen Sie, daß β = Cov(X, X) −1 Cov(X, Y ). 

b) leiten Sie aus a) einen konsistenten Schätzer ab. 

c) Nennen Sie die notwendigen Bedingungen, damit daß Gauss-Markov-Theorem gilt. 

b) Was besagt dieses Theorem? 

PROBLEM 2. Betrachte das Regressionsmodell Y i = c 0 X β 1 

i1 Xβ 2 

i2 eɛ i 

, i = 1 . . . , n mit den 

typischen Modellannahmen. Diskutieren Sie mindestens zwei Methoden, die Hypothese zu 

testen, daß X 1 und X 2 keine unterschiedlichen Elastizitäten haben. 

PROBLEM 3. Betrachte Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + ɛ . Wir wissen, daß für die OLS-schätzer 

für β 1 und β 2 gilt: ˆβ 1 = (s 22 s 1y − s 12 s 2y )/(s 11 s 22 − s 2 12 ) wobei s 12 = s 21 = 1 n 

∑ 

x1i x 2i etc. 

(alles Weitere analog). Was würde demnach die Unabhängigkeit zwischen X 1 , X 2 für die 

Schätzer implizieren? Was wäre mit der Schätzung von β 1 , wenn man X 2 weg lässt (mit 

bzw ohne Unabhängigkeit)? 

PROBLEM 4. Sie finden heraus, daß der R 2 von ln Y = β T ln X + ε deutlich größer ist als 

der von Y = γ T X + ɛ . 

a) Was schließen Sie daraus ? 

b) Was schließen Sie, wenn Sie dieselbe Beobachtung für den korrigierten R 2 machen ? 

c) Beschreiben Sie eine Methode, mit der Sie die beiden Spezifikationen vergleichen können. 

PROBLEM 5. a) Nennen Sie die typische Problemsituation, in denen der GLS nicht helfen 

kann. Geben Sie zwei Beispiele und eine Lösungen für die genannte Problemsituation. 

b) Bei der Ausgabe Ihrer Regression sehen Sie, daß der Breusch-Pagan test verwirft: Was 

bedeutet das? Sind Ihre Schätzer nun inkonsistent? Sind sie ineffizient? Können Sie die zu 

jedem Koeffizienten angegebenen t- oder p-Wert für Ihre Modellwahl beziehungsweise Variableninterpretation 

nutzen? Welche Alternative haben Sie, wenn Sie nicht GLS benutzen 

aber dennoch Inferenz betreiben wollen? Nenne Sie zwei Gründe, die gegen GLS sprechen. 

PROBLEM 6. Folgende Gleichung erklärt die Anzahl der Wochenstunden, die ein Kind vor 

dem Fernseher verbringt: 

stunden = α 0 + α 1 alter + α 2 alter 2 + α 3 Bldg(M) + α 4 Bldg(V ) + α 5 Geschw + ɛ , 

wobei Bldg Bildung meint und M =Mutter, V =Vater und Geschw =Anzahl der Geschwister. 

Wir haben aber statt stunden nur rstunden, d.h. die angegebenen Stunden. 

Diskutieren Sie die typischen error-in-variable Bedingungen und die Konsequenzen für die 

Konsistenz der α-Schätzungen, wenn OLS benutzt wird. 

PROBLEM 7. Wir möchten den Effekt von Ausgaben für R+D (Variablennahme sei G) auf 

den Profit (= P ) eines Unternehmens messen mit der Gleichung P = β ln G + ɛ . Wir 

1

haben von 5000 Unternehmen ihre freiwilligen Angaben vorliegen zu P , G und außerdem 

die Information zu S, d.h. die R+D-Ausgaben im gesamten Sektor des betreffenden 

Unternehmens. Als weitere Information haben wir: 

∑ 

P i ln G i = 6.13 , 

i 

∑ 

i 

P 2 

i = 128.5 , 

∑ 

i P i ln S i = 74.05 

∑ 

i (ln G i) 2 = 4.59 , 

∑ 

ln G i ln S i = 128.17 

i 

∑ 

(ln S i ) 2 = 28931.2 

a) schätze β mit OLS und interpretiere das Resultat. 

b) Diskutieren Sie mögliche Endogenität von ln G. Was wäre die Konsequenz (für ˆβ)? 

c) Schlage einen konsistenten Schätzer für β vor und interpretiere das Ergebnis. 

d) Teste, ob die R+D ausgaben einen Effekt auf den Profit des Unternehmens haben. 

(ˆσ 2 ɛ = 0.024). 

e) Vergleiche die Resultate aus a) und c). Teste ln G auf Endogenität und schließe. 

PROBLEM 8. Wir möchten untersuchen, ob Mädchen, die ein reines Mädchengymnasium 

besucht haben, besser in Mathematik sind, als solche, die ein gemischtes Gymnasium besuchten. 

Dazu haben wir N, die Noten einer Klausur, die in Gymnasien beiden Typs 

geschrieben wurde und eine Liste erklärender Variablen Ihrer Wahl betreff der Charakteristika 

der Mädchen. 

a) Erstelle ein Modell, daß geeignet ist, einen signifikanten Unterschied zu testen. 

b) Wenn wir an die elterliche Unterstützung bzw Motivation denken, könnte es Gründe 

geben, die Dummy-variable D (D = 1 wenn auf Mädchengymnasium) als endogen anzunehmen? 

c) Diskutieren Sie die Möglichkeit, A =Anzahl der Mädchengymnasium im Radius von 30 

Kilometern als IV für D zu benutzen. 

PROBLEM 9. Gegeben sei ein simultanes Gleichungssystem: 

i 

Nachfragegleichung: q d = α 1 p + α 2 y + ɛ d 

Angebotsgleichung: q s = β 1 p + ɛ s 

Gleichgewichtsbedingung: q d = q s = q 

Mit den Variablen q d : Nachfrage, q s : Angebot, p: Preis, y: Einkommen. 

Zur Vereinfachung nehme man an, dass ɛ d und ɛ s klassische Störterme sind, die folgende 

Bedingungen erfüllen: 

und E(ɛ dt y t ) = E(ɛ st y t ) = 0. 

E(ɛ dt ) = E(ɛ st ) = 0, E(ɛ dt ɛ st ) = 0 für t = 1, . . . , T 

E(ɛ 2 dt ) = σ2 d , E(ɛ2 st) = σ 2 s, 

Geben sie an welche Variablen exogen bzw. endogen sind. Begründen sie ihre Entscheidung 

z.B. durch die reduzierte Form. 

2

PROBLEM 10. Gegeben sind drei Ausdrucke der linearen Regressionsgleichung für das Geburtsgewicht 

bwght in Abhängigkeit von: 

• parity : Geburtsreihenfolge, zeigt an das wievielte Kind 

• male: dummy Variable, ist gleich 1, wenn das Kind männlich ist 

• white: dummy Variable, ist gleich 1, wenn das Kind weiße Hautfarbe hat 

• cigs: Anzahl der gerauchten Zigaretten pro Tag während der Schwangerschaft 

• faminc: Einkommen der Familie 

• fatheduc: Bildung des Vaters 

• motheduc: Bildung der Mutter 

a) Interpretieren sie die Koeffizienten von male und cigs im ersten Modell. 

b) Diskutieren sie die Signifikanz der Koeffizienten und der Modelle. 

c) Für welches Modell würden Sie sich entscheiden zwischen den dreien entscheiden? Begründen 

Sie Ihre Antwort. 

d) Angenommen, wir beschränken uns auf Modelle 2 und 3: Entscheiden Sie mit Hilfe eines 

F-(bzw. χ 2 -)tests, für welches der beiden Modelle Sie sich nun entscheiden würden. 

Modell 1: OLS estimates using 1191 observations from 1388 

Fehlende oder unvollständige Beobachtungen entfernt: 197 

Abhängige Variable: bwght 

Variable Koeffizient Std. Fehler t-Statistik P-Wert 

const 109,024 3,93758 27,6880 0,0000 

faminc 0,0437648 0,0369770 1,1836 0,2368 

fatheduc 0,411267 0,281008 1,4635 0,1436 

motheduc -0,328362 0,317860 -1,0330 0,3018 

parity 1,91589 0,655391 2,9233 0,0035 

male 3,79554 1,14268 3,3216 0,0009 

white 4,71347 1,60772 2,9318 0,0034 

cigs -0,598106 0,109734 -5,4505 0,0000 

Mittelwert der abhängigen Variable 119,530 

S.D. of dependent variable 20,1412 

Summe der quadrierten Residuen 456614, 

Standardfehler der Residuen (ˆσ) 19,6464 

Unkorrigiertes R 2 0,0541343 

Korrigiertes ¯R 2 0,0485374 

F (7, 1183) 9,67230 

Log-Likelihood −5232,6 

Akaike Informations-Kriterium 10481,2 

Schwarz’ Bayes-Kriterium 10521,9 

Hannan–Quinn-Kriterium 10496,5 

3

Modell 2: OLS estimates using the 1388 observations, Abhängige Variable: bwght 


const 108,827 1,80021 60,4523 0,0000 

faminc 0,0641832 0,0303905 2,1119 0,0349 

parity 1,79534 0,599962 2,9924 0,0028 

male 3,20025 1,06785 2,9969 0,0028 

white 5,65227 1,36386 4,1443 0,0000 

cigs -0,489982 0,0908111 -5,3956 0,0000 







F (5, 1382) 15,3427 





Modell 3: OLS estimates using the 1388 observations, Abhängige Variable: bwght 


const 110,223 1,67639 65,7506 0,0000 

parity 1,73782 0,600093 2,8959 0,0038 

male 3,09887 1,06811 2,9013 0,0038 

white 6,52158 1,30189 5,0093 0,0000 

cigs -0,523138 0,0895555 -5,8415 0,0000 







F (4, 1383) 18,0182 





PROBLEM 11. Die Variablen X 1 , . . . , X N seien normalverteilt N (µ, σ 2 ), µ und σ 2 unbekannt. 

Es seien 100 Beobachtungen gegeben, mit ¯x = 1 und ¯x 2 = 6. Testen sie die Nullhypothese 

H 0 : σ 2 = 4 

4

gegen die Alternativhypothese 

mit dem Lagrange Multiplikatorentest. 

H 1 : σ 2 ≠ 4 

PROBLEM 12. Gegeben sei die Cobb-Douglas Produktionsfunktion mit der Notation Q = 

Output, K = eingesetztes Kapital, L = geleistete Arbeit und einem Fehler U im log-log- 

Modell. Weiter gilt die Annahme, die Skalenerträge seien konstant. Da die Verteilung der 

Fehler nicht näher spezifiziert werden soll, wenden wir den GMM-schätzer an: 

a) Nennen Sie 4 Momentenbedingungen. 

b) Schlagen Sie eine geeignete Gewichtungsmatrix für den GMM vor und begründen Sie 

Ihren Vorschlag. 

PROBLEM 13. Gegeben sei das Schulnotenmodell zur Untersuchung der Einflusses vom Vorhandensein 

eines Computers: 

(1) marks = β 0 + β 1 comp + β 2 ability + ɛ 

wobei comp = 1 wenn Computer im Elternhaus vorhanden, 0 sonst. Leider kann ability 

nicht beobachtet werden. Die Daten seien aus verschiedenen Schulen verschiedener Regionen 

gesammelt. 

• Angenommen wir schätzen die Gleichung ohne ability mit OLS: ist ˆβ 1 konsistent? 

Wenn nicht, in welche Richtung erwarten Sie die Verzerrung? 

• Angenommen, wir beobachten IQ. Inwieweit können wir dies nutzen? Können wir 

nun β 2 konsistent schätzen? 

• Diskutieren Sie, warum auch im Modell (1) comp endogen sein könnte. Schlagen Sie 

konkrete Abhilfe vor. 

PROBLEM 14. Gegeben sind drei Ausdrucke der linearen Regressionsgleichung für die Anzahl 

der Verbrechen auf dem Campus crime in Abhängigkeit von: 

• police: Anzahl der angestellten Polizisten 

• enroll: Anzahl der eingeschriebenen Studenten 

Modell 2: 

Modell 3: 

Modell 4: 

crime = α 0 + α 1 police + u 

crime = γ 0 + γ 1 enroll + u 

crimeinv = β 0 + β 1 policeinv + β 2 enrollinv + u 

Modell 1: 

crime = β 0 + β 1 police + β 2 enroll + u 

Wobei crimeinv, policeinv und enrollinv die negative Inverse (−1/x) der jeweiligen Variable 

darstellt. Die Gretl-Ausdrucke für diese Modelle sind unten gegeben. 

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1. Interpretieren sie die Koeffizienten von Modell 4 mit Hilfe der Ausgabe 4. 

2. Diskutieren sie die Signifikanz der Koeffizienten und der Modelle. 

3. Vergleichen sie die Modelle 2 und 3: 

(a) mit dem non nested F-Test. 

(b) Entwerfen Sie alternativ zum F-test einen J-Test. 

4. Vergleichen Sie die Modelle 1 und 4. Entscheiden und begründen Sie, welches der 

beiden Modelle sie wählen würden. (Hinweis: in Übung PE-test genannt) 

Modell 1: OLS estimates using the 97 observations, Abhängige Variable: crime 


const -153,65 42,5961 -3,6072 0,0005 

police 7,57016 2,25504 3,3570 0,0011 

enroll 0,0244432 0,00286590 8,5290 0,0000 



Summe der quadrierten Residuen 

5,47900e+06 




F (2, 94) 127,849 







const -42,556 53,7296 -0,7920 0,4303 

police 21,3229 2,08852 10,2096 0,0000 




9,71901e+06 




Freiheitsgrade 95 





6



const -109,09 42,6072 -2,5606 0,0120 

enroll 0,0313226 0,00210897 14,8520 0,0000 




6,13586e+06 




Freiheitsgrade 95 





Modell 4: OLS estimates using the 97 observations, Abhängige Variable: crimeinv 


const 0,0171575 0,0213259 0,8045 0,4231 

policeinv 0,0899378 0,126773 0,7094 0,4798 

enrollinv 312,821 130,281 2,4011 0,0183 

Mittelwert der abhängigen Variable −0,0289905 


Summe der quadrierten Residuen 1,77725 




F (2, 94) 4,21604 

P-Wert für F () 0,0176407 

Log-Likelihood 56,3456 

Akaike Informations-Kriterium −106,69 

Schwarz’ Bayes-Kriterium −98,967 

Hannan–Quinn-Kriterium −103,56 

Ausgabe 5: t-Statistiken in Klammern 

ĉrime = −186, 246 

(−3,619) 

+ 7, 79611 

(3,448) 

police + 0, 0253543 

(8,525) 

enroll + 351, 647 crimedeltalin 

(1,125) 

T = 97 ¯R2 = 0, 7263 F (3, 93) = 85, 896 ˆσ = 241, 09 

Ausgabe 6: t-Statistiken in Klammern 

crimeinv ̂ = 0, 0186693 

(0,765) 

+ 0, 0920198 

(0,716) 

policeinv + 317, 071 

(2,349) 

enrollinv − 2, 49e-6 crimedeltainv 

(−0,130) 

T = 97 ¯R2 = 0, 0529 F (3, 93) = 2, 7869 ˆσ = 0, 13823 

7

PROBLEM 18. siehe Übung vom 29. Juni und 6. Juli 

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