Ein paar Ableitungen

x
x
d) Leite zuerst g( x) = a = exp( x • ln a)
ab und erhalte g '( x) = exp( x • ln a) • ln a = a • ln a .
Dies kann nun verwendet werden:
( a )
4
( ) x
x
= = exp( • ln )
( )
Die Funktion ( ) x
a
f4 x = x kann nach demselben Prinzip zu
umgeschrieben werden, sodass die Ableitung leicht (wieder mittels Ketten –und
Produktregel) angegeben werden kann.
f x x a x
x
( a )
x
4( ) = = exp( • ln )
f x x a x
1 1
f x a x a a x a x a a x a
x
x
x
( a ) x
1
= x • a (ln a • ln x + )
x
x
x x x ( a ) x x
4
'( ) = exp( • ln ) • ( • ln • ln + • ) = • ( • ln • ln + • )
Der natürliche Definitionsbereich beträgt auch hier D = R
> 0
.
1
1
x
e) Nun muss die Ableitung der Funktion f5( x) = (ln x) = exp( • ln(ln x))
bestimmt werden.
x
Dies kann mit der Ketten –und Produktregel erfolgen:
1 1 1 1 1
f5
'( x) = exp( • ln(ln x)) • ( − ln(ln x) + • • )
x x² x ln x x
1 1
1 1 1 1 1 1
x
x
= (ln x) • ( − ln(ln x) + • • ) = (ln x) • ( − ln(ln x) + )
x² x ln x x² x² ln x
Der natürliche Definitionsbereich beträgt hier D = { x ∈ R | x > 1} .
Alternativ lässt sich die Ableitung einfacher berechnen, wenn man die Funktion zu
1
1
x
f5( x) = (ln x) = • ln x umschreibt. Nun kann die Ableitung nämlich mittels Produktregel
x
bestimmt werden:
1 1 1 1 1 1 1
f x x x x x
x² x x x² x² x² x²
1 1
= (ln + 1)
x²
x
−1
5
'( ) = − • ln + • = − • ln + = ( − ln + 1) = (ln + 1)
f) Die Ableitung von f 6
( x ) = ln(ln( x ² + x + 1)) kann mit der Kettenregel bestimmt werden:
1 1 2x
+ 1
f6
'( x) = • • 2x
+ 1 =
ln( x² + x + 1) x² + x + 1 ( x² + x + 1) • ln( x² + x + 1)
Um den natürlichen Definitionsbereich angeben zu können, müssen wir zunächst
untersuchen, wann x² + x + 1 Null wird. Dies kann z.B. mittels der p, q-Formel gemacht