Kohomologietheorie

Kohomologietheorie
Florian Modler
23. August 2011

Inhaltsverzeichnis
1 Motivation 4
2 Die Theorie der Kohomologie 7
2.1 Folgerungen aus den Kohomologietheorie-Axiomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Produktstruktur 11
4 Beispiele 14
Index 15
Literaturverzeichnis 16
2

Vorwort
Die Kohomologietheorie ist durch die Homologietheorie gegeben. Denn die Kohomologie stellt in gewissen
Sinne einfach die duale Theorie zur Homologie dar. Eine mögliche Motivation zur Einführung
ist die Poincare-Dualität, die für eine geschlossene (kompakt und ohne Rand) n-dimensionale Mannigfaltigkeit
aussagt, dass die p-te Homologie isomorph zu ihrer (n − p)-ten Kohomologie ist. Eine andere
Motivation ist die deRham-Kohomologie, die wir auch in Kapitel 1 geben werden.
Das „dual“ bezieht sich hier darauf, dass die Kohomologie ein kontravarianter Funktor ist im Gegensatz
zur Homologie, die ein kovarianter Funktor ist. Dies hat die Konsequenz, dass eine Kohomologietheorie
eine multiplikative Struktur besitzt, die man auf der Homologie nicht zur Verfügung hat, diese
aber wertvolle zusätzliche Informationen enthält.
In diesem Vortrag wollen wir die Kohomologie und Produkte definieren und diese anhand einer
Berechnung der Produktstruktur verdeutlichen.
Eine Kohomologietheorie ist eine Folge von kontravarianten Funktoren H n : Top 2 → R − Mod
zusammen mit einer natürlichen Transformation δ ∗ : H n+1 (A) → H n (X, A), für die die dualen
Axiome der Homologietheorie gelten.
Die Frage, die man sich nun stellen kann, ist, welche Vorteile die Kohomologietheorie gegenüber der
Homologietheorie besitzt. Es gibt einige Vorteile, da man zum Beispiel für die singuläre Kohomologie
nicht nur eine R-Modulstruktur auf den Kohomologiegruppen hat, sondern sogar einen (graduierten)
Ring aus der Kohomologie machen kann, was zusätzliche Informationen über den topologischen Raum
kodiert.
3

Kapitel 1
Motivation
Wir geben eine Motivation zur (Ko)Homologie, die wir auf [Goc11] gefunden haben.
Der algebraischen Topologie liegt allgemein der Grundgedanke zu grunde, topologische Objekte und
Eigenschaften auf algebraische Entsprechungen abzubilden. Bei der (Ko)Homologie wird einem topologischen
Raum X bzw. einem Paar (X, A) bestehend aus einem topologischen Raum X und einem
Unterraum A eine Folge von Moduln über einem festen Ring zugeordnet.
Eine Motivation der (Ko)Homologie:
Sei U ⊂ R 3 offen und nichtleer.
Beispiel 1 Weiter sei f : U → R 3 eine genügend oft stetig differenzierbare Funktion. Man kann nun die
Frage stellen, ob f der Gradient einer Funktion F : U → R ist. Hierfür gibt es die notwendige Bedingung,
dass rot(f) = 0 ist. Gilt dies, so kann man wirklich lokal eine Stammfunktion von f finden. Global ist
dies im Allgemeinen nicht möglich. Es sind gerade die „Löcher“, die uns das Leben schwer machen. Dazu
betrachten wir ein konkretes Beispiel. Es sei
U = { x ∈ R 3 : x 2 1 + x 2 2 ≠ 0 } und f(x) =
(
− x 2
x 2 1 + ,
x2 2
x 1
x 2 1 + x2 2
)
, 0 .
Man rechnet nun nach, dass tatsächlich rot(f) = 0 gilt. Jedoch ist f kein Gradient. Dies sieht man so: Es
gelte f = ∇F für ein F : U → R. Dann würden wir für jeden Weg γ : [0, 1] → U
∫
γ
f(x) dx =
∫ 1
0
〈
f(γ(t)), γ ′ (t) 〉 dt =
∫ 1
0
D(F ◦ γ)(t) dt = F (γ(1)) − F (γ(0)).
gelten. Ist γ ein geschlossener Weg, so wäre das Wegintegral Null. Beispielsweise ist dies aber für
γ(t) = (cos(2πt), sin(2πt), 0)
nicht der Fall. Das Wegintegral ist gleich 2π. Dieser Widerspruch zeigt, dass f keine Gradientenfunktion
ist.
Beispiel 2 Ein analoges Problem tritt bei der Problemstellung auf, zu entscheiden, ob eine Funktion U →
R 3 Rotation eines anderen Vektorfeldes U → R 3 ist. Hier gibt es ebenfalls eine notwendige Bedingung,
nämlich, dass div(f) = 0. Die globale Existenz ist an topologische Eigenschaften des Raumes U geknüpft.
Sei
U := R 3 \ {0} und f(x) := ‖x‖ −3
2
· x.
Man rechnet hier nach, dass wirklich div(f) = 0 gilt. Ebenso zeigt man hier wieder, dass f keine Rotation
einer anderen Funktion ist. Dies folgt aus dem Satz von Stokes, denn sonst gelte für jede glatte Fläche
4

Motivation
M ⊂ R 3
∫
∫
〈f, n〉 dx =
〈rot(F ), n〉 dx =
∫
〈F, t〉 dx.
M
M
Hierbei bezeichnet ⃗n den äußeren Einheitsnormalenvektor der Fläche und t das Einheitstangentialfeld der
Randkurve.
Nun überlegt man sich auch hier, dass beispielsweise das Integral über f über die Oberfläche der Einheitskugel
nicht verschwindet, so dass f also nicht als rot(F ) darstellbar ist.
Wir hatten schon angeführt, dass das wesentliche Problem an diesen Gegenbeispielen das „Loch“ in
U ist. Im Beispiel 1 ist U = R\{x = y = 0} und daher wird aus dem R 3 eine Gerade herausgeschnitten.
U hat also ein „eindimensionales Loch“. Der Weg, über den die Funktion f integriert wurde, war genau
ein solcher, der sich um dieses Loch nichttrivial herumwindet.
Im Beispiel 2 wird hingegen der Nullpunkt entfernt. Wir haben hier also ein „nulldimensionales
Loch“. Die Fläche, über die f integriert wurde, hat auch hier die Eigenschaft, dass sie nicht gerade
optimal um das Loch positioniert ist.
Dies wollen wir nun auf Mannigfaltigkeiten verallgemeinern und die deRham-Kohomologie betrachten.
Wir können auf einer glatten Mannigfaltigkeit M fragen, ob eine k-Form ω das Differential einer
(k − 1)-Form α ist. Da d(dα) = d 2 α = 0, gilt dω = 0. Man sagt, dass ω geschlossen ist. Betrachten wir
auch hier die Beispiele 1 und 2, so erkennt man auch hier die Bedingung rot(f) = 0 und div(f) = 0.
Auch hier ist es so, dass dω = 0 die lokale Existenz einer Stammfunktion sichert. Die globale Existenz
unterliegt jedoch der Geometrie der Mannigfaltigkeit M.
Mit Ω k (M) bezeichnen wir den Raum aller k-Formen. Das Differential d liefert eine Folge von linearen
Abbildung zwischen diesen Vektorräumen
Ω 0 (M) d → Ω 1 (M) d → . . .
∂ M
d
→ Ω k−1 (M) d → Ω k (M) d → Ω k+1 (M) d → . . . .
Der Unterraum B k (M) der geschlossenen Formen, also der Kern von d : Ω k (M) → Ω k+1 (M) und
der Unterraum Z k (M) der exakten Formen, also das Bild von d : Ω k−1 (M) → Ω k (M), sind für uns
interessant.
Eine k-Form ω liegt genau dann in B k (M), wenn dω = 0 ist, das heißt wenn sie die notwendige
Bedingung erfüllt. ω liegt genau dann in Z k (M), wenn sie das Differential einer (k − 1)-Form ist. Da
nun aber d 2 = 0 gilt, ist jede exakte Form auch geschlossen, das heißt Z k (M) ⊂ B k (M). Die Frage
nach der globalen Existenz von Stammfunktionen ist also die Frage, ob in der Inklusion Z k (M) ⊂
B k (M) Gleichheit gilt.
Dies kann man auch so formulieren:
Ist H k (M) := B k (M)/Z k (M) der triviale Vektorraum?
Die H k (M) nennen wir die deRham Kohomologie-Gruppen. Es stellt sich heraus, dass diese Homotopieinvarianten
von M sind, insbesondere gar nicht mehr von der differenzierbaren Struktur abhängen.
5

Motivation
Beispiel 3 Es ist H k (R n ) = 0 für alle n, k > 0, da der R n zusammenziehbar, also homotopieäquivalent
zu einem Punkt ist.
Die Kohomologiegruppen einer Mannigfaltigkeit „messen“ recht gut, wie viele und welche „Löcher“
die Mannigfaltigkeit hat. Man kann sich die Dimension dim R H k als formale Präzision der anschaulichen
Anzahl der (k − 1)-dimensionalen Löcher vorstellen.
6

Kapitel 2
Die Theorie der Kohomologie
Die Axiome einer Kohomologietheorie erhält man aus denen einer Homologietheorie (siehe Definition
??), indem man einfach alle Pfeile umdreht und in der Notation H ∗ durch H ∗ ersetzt. Wir wollen dies
nochmals formalisieren.
Hierzu sei R ein assoziativer und kommutativer Ring mit Einselement.
Definition 2.1 (Kohomologietheorie) Eine Kohomologietheorie H ∗ = (H ∗ , δ ∗ ) mit Werten in R-
Moduln ist ein kontravarianter Funktor
H ∗ : Top 2 → R − Mod
zusammen mit einer natürlichen Transformation
δ ∗ : H ∗ ◦ I → H ∗+1 ,
wobei H ∗+1 aus H ∗ durch die offensichtliche Indexverschiebung entsteht und die folgenden Axiome gelten
sollen.
Homotopieinvarianz: Seien f, g : (X, A) → (Y, B) homotope Abbildungen von Paaren. Dann gilt für alle
n ∈ Z
H n (f) = H n (g) : H n (Y, B) → H n (X, A).
Lange exakte Sequenz von Paaren: Für jedes Paar (X, A) ist folgende nach beiden Seiten unendlich lange
Sequenz exakt.
. . . δn−1 (X,A)
−→
. . . δn (X,A)
−→
H n (X, A) Hn (j)
−→ H n (X) Hn (i)
−→ H n (A)
H n+1 (X, A) Hn+1 (j)
−→
H n+1 (X) Hn+1 (i)
−→
H n+1 (A) δn+1 (X,A)
−→ . . . ,
wobei i : A → X und j : X = (X, ∅) → (X, A) die Inklusionen sind.
Ausschneidung: Seien A ⊂ B ⊂ X Unterräume des Raumes X mit A ⊂ Ḃ. Dann induziert die Inklusion
i : (X − A, B − A) → (X, B) für alle n ∈ Z Isomorphismen
H n (i) : H n (X, B) ∼ = → H n (X − A, B − A).
Wir wollen einige Begriffe aus Definition 2.1 erklären.
Kontravarianter Funktor H ∗ : Top 2 → R − Mod bedeutet: Jedem Paar (X, A) wird eine Familie
von R-Moduln H n (X, A) indiziert über n ∈ Z zugeordnet. Jeder Abbildung f : (X, A) →
(Y, B) und jedem n ∈ Z wird ein R-Homomorphismus H n (f) : H n (Y, B) → H n (X, A) assoziiert.
Dabei soll H n (Id) = Id und H n (g ◦ f) = H n (f) ◦ H n (g) gelten.
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2.1 Folgerungen aus den Kohomologietheorie-Axiomen
Ausschneidungsaxiom: Der Name ist mit dieser Beschreibung eigentlich selbsterklärend: Man
kann aus X und A von (X, A) ein Stück, sagen wir U, herausschneiden und ändert dabei nichts
an den (Ko)Homologien, sofern U genügend gutartig in A eingebettet liegt. Eine solche „gutartige“
Einbettung ist im metrischen Fall zum Beispiel dann gegeben, wenn U einen (beliebig
kleinen) positiven Abstand vom Rand von A hat.
Bemerkung Ab und an werden zu den Axiomen aus Definition 2.1 noch zwei weitere Axiome gefordert.
Dimensionsaxiom: Es gilt für alle n ∈ Z
H n ({·}) ∼ = R, falls n = 0 und H n ({·}) ∼ = 0, falls n ≠ 0.
Hierbei bezeichne {·} den einpunktigen topologischen Raum.
Disjunkte Vereinigung: Sei {X i : i ∈ I} eine Familie von topologischen Räumen für eine beliebige Indexmenge
I. Sei j i : X i → ∐ X i die kanonische Inklusion für i ∈ I. Dann ist die Abbildung
für alle n ∈ Z bijektiv.
∏
i∈I
H n (j i ) : H n ( ∐
i∈I
X i
)
∼=
→ ∏ i∈I
H n (X i )
Das Dimensionsaxiom fordert nur eine kleine Einschränkung, die sozusagen zur „Normierung“ der
(Ko)Homologietheorie dient. Das Dimensionsaxiom vereinfacht einiges, ist aber für die wenigsten Anwendungen
tatsächlich notwendig. Die meisten Sätze kann man mit leichten Modifikationen auch ohne
Dimensionsaxiom beweisen. In der Tat gibt es auch viele interessante (Ko)Homologien, wie etwa die K-
Theorie oder (Co)Bordismustheorien, die dieses Axiom nicht erfüllen. Diese werden unter dem Namen
„außergewöhnliche (Ko)Homologietheorien“ (engl. extraordinary coholomogy theories) zusammengefasst.
Die Bordismus- und Kobordismustheorien sowie die K-Theorie verletzen zum Beispiel das Dimensionsaxiom.
Da sie alle anderen Axiome erfüllen, ist das jedoch nur eine kleine Unannehmlichkeit.
Dagegen erfüllt die Čech-Kohomologie das Axiom von der langen, exakten Sequenz nur für bestimmte
Räume, während das Axiom bei anderen Räumen verletzt sein kann. Die Borel-Homologie verletzt
das Axiome von der Homotopie-Invarianz schon bei sehr gutartigen Räumen, so ist etwa die Borel-
Homologie von dem Einpunktraum verschieden, obwohl die beiden Räume homotopieäquivalent sind.
Schließlich gibt es Konzepte wie die Gruppen(ko)homologie, die komplett ohne topologische Räume
definiert werden können, sodass die Axiome in diesem Kontext gar völlig bedeutungslos werden. Es
gibt allerdings eine enge Verbindung zu topologischen Räumen und deren „normaler“ (Ko)Homologie.
2.1 Folgerungen aus den Kohomologietheorie-Axiomen
Die Folgerungen aus den Homologie-Axiomen übertragen sich direkt auf die Kohomologie.
8

2.1 Folgerungen aus den Kohomologietheorie-Axiomen
Die exakte Sequenz eines Tripels (X, B, A) hat für die Kohomologie die Gestalt
. . . δn−1 (X,B,A)
−→
H n (X, B) Hn (j)
−→ H n (X, A) Hn (i)
−→ H n (B, A)
δ n (X,B,A)
−→
H n+1 (X, B) Hn+1 (j)
−→
H n+1 (X, A) Hn+1 (i)
−→ . . .
Die Mayer-Vietoris-Sequenzen übertragen sich ebenfalls in analoger Weise. Es ergibt sich die
lange exakte Sequenz
. . . Hn−1 (j 1 )×H n−1 (j 2 )
−→ H n−1 (X 1 , A) × H n−1 (X 2 , A) Hn−1 (i 1 )−H n−1 (i 2 )
−→ H n−1 (X 0 , A)
δ
−→ n−1
H n (X, A) Hn (j 1 )×H n (j 2 )
−→ H n (X 1 , A) × H n (X 2 , A) Hn (i 1 )−H n (i 2 )
−→ H n (X 0 , A) −→ δn
. . .
Ein sehr mächtiges Werkzeug ist die Mayer-Vietoris-Sequenz. Sie folgt aus dem Axiom über die
lange exakte Sequenz und dem Ausschneidungsaxiom. Das ist ein sehr nützliches Tool, da es uns
auf eine gewisse Weise erlaubt, den Raum, dessen (Ko)Homologie wir haben wollen, in Teilräume
zu zerlegen. Durch die Mayer-Vietoris-Sequenz werden dann die (Ko)Homologien des großen
und der kleinen Räume miteinander in Verbindung gesetzt.
Der Einhängungsisomorphismus für einen punktierten Raum (X, x) existiert auch für die Kohomologietheorie
σ n : H n (X, {x}) ∼ = → H n+1 (ΣX, {x}). (2.1)
Beispiel 4
a) Aus (2.1) ergibt sich sofort, dass (H ∗ , δ ∗ ) für m ≥ 1 das Dimensionsaxiom erfüllt mit
H n (S m ) ∼ = H 0 ({·}) ∼ = R, falls n = 0 und H n (S m ) ∼ = 0, sonst..
Bemerkung Die Ergebnisse der zellulären Homologie übertragen sich in natürlicher Weise auf eine Kohomologietheorie
(H ∗ , δ ∗ ), wenn man mit Kokettenkomplexen arbeitet.
Definition 2.2 (Kokettenkomplex, n-te Kohomologie) Ein R-Kokettenkomplex C ∗ = (C ∗ , c ∗ ) ist ein
Z-graduiertes R-Modul C ∗ mit einer Familie von R-Homomorphismen c n : C n → C n+1 für n ∈ Z mit
c n ◦ c n−1 = 0 für alle n ∈ Z.
Die n-te Kohomologie H n (C ∗ ) ist das R-Modul ker(c n )/im(c n−1 ).
Bemerkung Begriffe wie Kettenabbildung, Kettenhomotopie und die lange exakte Homologiesequenz zu
einer kurzen exakten Sequenz von Kettenkomplexen übertragen sich in natürlicher Weise.
Definition 2.3 (assoziierte zelluläre Kettenkomplex) Der zu H ∗ assoziierte zelluläre Kettenkomplex
CH ∗ ∗(X, A) hat Hn (X n , X n+1 ) als n-ten Kettenmodul und den Randoperator des Tripels (X n+1 , X n , X n−1 )
δ n : H n (X n , X n−1 ) → H n+1 (X n+1 , X n )
als n-tes Differential.
Zur Notation schreiben wir die Kohomologie H n (CH ∗ ∗(X, A)) mit Hn H∗(X, A). Des Weiteren bemerken
wir, dass sich der Satz über Homologie und zelluläre Kettenkomplexe auch auf die Kohomologie
9

2.1 Folgerungen aus den Kohomologietheorie-Axiomen
überträgt. Das heißt es existiert in (X, A) für alle n ∈ Z ein natürlicher Isomorphismus
µ n (X, A) : H n (X, A) ∼ = → H
n
H ∗(X, A). (2.2)
Beispiel 5 Wir geben noch zwei Beispiele.
b) Es ist nach Gleichung (2.2)
H n (CP m ) ∼ = H 0 ({·}) ∼ = R, falls 0 ≤ n ≤ 2m, n gerade und H n (CP m ) ∼ = {0}, sonst..
c) Ebenso überlegt man sich, dass
H n (RP m ) ∼ = F 2 , falls 0 ≤ n ≤ m, und H n (RP m ) ∼ = {0}, sonst..
10

Kapitel 3
Produktstruktur
Bis jetzt sieht es so aus, als würde die Kohomologie im Vergleich zur Homologie nichts Neues bringen.
Dies ist aber gar nicht so. Es gibt nämlich eine multiplikative Struktur, die auf der Homologie nicht
existiert und die aber viele Anwendungen besitzt.
Dazu schreiben wir im Folgenden
(X, A) × (Y, B) := (X × Y, X × B ∪ A × Y )
für Paare (X, A) und (Y, B). Die multiplikative Struktur ist nun wie folgt definiert.
Definition 3.1 (multiplikative Struktur) Sei H ∗ = (H ∗ , δ ∗ ) eine Kohomologie mit Werten in R-Moduln.
Eine multiplikative Struktur ordnet jedem topologischen Raum X mit Unterräumen A, B ⊂ X für alle
p, q ∈ Z eine Familie von R-bilinearen Abbildungen
∪ : H p (X, A) × H q (X, B) → H p+q (X, A ∪ B)
und jedem topologischen Raum Y ein Element
1 Y ∈ H 0 (Y )
zu derart, dass folgende Axiome gelten:
Natürlichkeit: Sei X i ein topologischer Raum mit Unterräumen A i , B i ⊂ X i für i = 0, 1. Sei f : X 0 →
X 1 eine Abbildung f(A 0 ) ⊂ A 1 und f(B 0 ) ⊂ B 1 . Dann kommutiert für alle p, q ∈ Z folgendes
Diagramm. Für jede Abbildung g : Y → Z gilt H 0 (g)(1 Z ) = 1 Y .
∪
H p (X 0 ,A 0 )×H q (X 0 ,B 0 ) H p+q (X 0 ,A 0 ∪B 0 )
H p (f)×H q (f)
H p+q (f)
∪
H p (X 1 ,A 1 )×H q (X 1 ,B 1 ) H p+q (X 1 ,A 1 ∪B 1 )
Graduierte Kommutativität: Für u ∈ H p (X, A) und v ∈ H q (X, B) gilt
u ∪ v = (−1) pq v ∪ u.
Assoziativität: Für u ∈ H p (X, A), v ∈ H q (X, B) und w ∈ H r (X, C) gilt
(u ∪ v) ∪ w = u ∪ (v ∪ w).
Einselement: Für u ∈ H p (X, A) gilt
1 X ∪ u = u ∪ 1 X = u.
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Produktstruktur
Verträglichkeit mit dem verbindenden Homomorphismus: Sei (X, A) ein Paar von topologischen Räumen
und k : A → X die Inklusion. Dann gilt für alle u ∈ H p (A) und v ∈ H q (X)
δ p (u) ∪ v = δ p+q (u ∪ H q (k)(v)).
Bemerkung Wir geben zwei einfache Bemerkungen:
Ist A = ∅, so kann man die multiplikative Struktur auch zu interpretieren: Das ∪-Produkt induziert
auf dem Z-graduierten R-Modul H ∗ (X) die Struktur einer graduiert kommutativen Z-graduierten
R-Algebra mit Einselement und eine Abbildung f : X → Y induziert eine Abbildung vom Z-
graduierten R-Algebren mit Einselement.
Oftmals gilt für zwei topologische Räume X und Y , dass die Z-graduierten R-Algebren H ∗ (X) und
H ∗ (Y ) nach Vergessen der multiplikativen Strukturen, also als Z-graduierten R-Moduln, isomorph
sind, aber nicht als kommutative Z-graduierten R-Algebren isomorph sind. Dies impliziert, dass X
und Y nicht homotopieäquivalent sein können, was man also erst unter Benutzung der multiplikativen
Struktur erkennt.
Beispiel 6 Wir wollen das Beispiel der deRham-Kohomologie aus dem Motivationskapitel (Kapitel 1) wieder
aufgreifen und daran die multiplikative Struktur erklären.
Definition 3.2 (deRham-Kohomologie) Sei M n eine glatte Mannigfaltigkeit.
Der deRham-Kokettenkomplex CdR ∗ (M) ist der R-Kokettenkomplex, dessen p-ter R-Modul der Vektorraum
Ω p (M) der p-Formen ist und dessen Differentiale durch die äußere Ableitung gegeben sind, das
heißt
. . . → 0 → Ω 0 (M) → d0 Ω 1 (M) → d1 . . . dn−1
→ Ω n (M) → 0 → . . . .
Die deRham-Kohomologie ist definiert als die Kohomologie des deRham-Kokettenkomplexes, das heißt
H n dR (M) = H∗ (C ∗ dR (M)).
Sei weiter M eine glatte Mannigfaltigkeit. Dann kann man von einer p-Form ω ∈ Ω p (M) und einer
q-Form η ∈ Ω q (M) ein Dachprodukt ω ∧ η ∈ Ω p+q (M) definieren, welches dann eine (p + q)-Form ist.
Das Dachprodukt ist bilinear und graduiert kommutativ, das heißt ω ∧ η = (−1) pq η ∧ ω. Zudem gilt
d p+q (ω ∧ η) = d p (ω) ∧ η + (−1) p ω ∧ d q (η).
Hieraus ergibt sich, dass man auf der deRham-Kohomologie eine multiplikative Struktur definieren kann.
Für Kohomologieklassen u ∈ H p dR (M) und v ∈ Hq dR
(M) wählt man die repräsentierenden Kozykel
ω ∈ C p dR (M) = Ωp (M) und η ∈ C q dR (M) = Ωq (M) und definiert
u ∧ v = [ω ∧ η] ∈ H p+q
dR (M)
als die vom Kozykel ω ∧ η repräsentierte Kohomologieklasse.
12

Produktstruktur
ω ∧ η ist ein Kozykel und unabhängig von der Wahl der Repräsentanten, wie die beiden Rechnungen
zeigen:
und
d p+q (ω ∧ η) =
}{{}
d p ω ∧η + (−1) p ω ∧ d q η = 0 ∧ η + ω ∧ 0 = 0
}{{}
=0
=0
(ω + d p−1 µ) ∧ η − ω ∧ η = ω ∧ η + d p−1 (µ ∧ η) − ω ∧ η
= d p−1 (µ ∧ η)
= d p−1 µ ∧ η + (−1) p−1 µ ∧ d q−1 η
= d p+q−1 (µ ∧ η).
∧ induziert auf der deRham-Kohomologie HdR ∗ (M) die Struktur einer graduiert kommutativen graduierten
R-Algebra. Weiter gilt
H p+q
dR (f)(u ∧ v) = Hp dR (f)(u) ∧ Hq dR (g)(v).
Die Konstruktion und die wesentlichen Eigenschaften des Dach-Produktes auf der deRham-Kohomologie
sind dann völlig analog des Cup-Produktes
auf der singulären und zellulären Kohomologie.
∪ : H p (M, R) × H q (M, R) → H p+q (M, R)
Das ∪-Produkt nennt man ab und an auch das interne Produkt. Daraus lässt sich das externe Produkt
oder das Kreuz-Produkt konstruieren: Für zwei Paare (X, A) und (Y, B) topologischer Räume
seien pr Y : (X, A) × Y → (X, A) und pr X : X × (Y, B) → (Y, B) die Projektionen. Das Kreuz-
Produkt definieren wir als
× : H p (X, A)×H q (Y, B) Hp (pr Y )×H q (pr X )
−→
H p (X×Y, A×Y )×H q (X×Y, X×B) ∪ → H p+q ((X, A)×(Y, B)).
Bemerkung Wir geben ein paar Bemerkungen:
Das ∪-Produkt kann man wieder aus dem Kreuz-Produkt zurückgewinnen.
Oftmals besitzen auch Homologietheorien ein externes Produkt
×H p (X, A) × H q (Y, B) → H p+q ((X, A) × (Y, B)).
Daraus lässt sich aber nicht, wie bei der Kohomologie, ein internes Produkt herleiten, da die diagonale
Abbildung D : X → X × X auf der Kohomologie eine Abbildung in die gewünschte Richtung
induziert, nämlich H p (D) : H p (X × X) → H p (X), aber auf der Homologie in der falschen,
nämlich H p (D) : H p (X) → H p (X × X). Das interne Produkt ist aber das entscheidende Produkt,
weil es eine wertvolle Ringstruktur auf der Kohomologie induziert.
13

Kapitel 4
Beispiele
In diesem Kapitel wollen wir einige Sätze als Beispiele für die Kohomologietheorie geben, ohne groß
auf die Beweise einzugehen, die aber in [L¨05] nachgelesen werden können.
Satz 4.1 (Der Kohomologiering komplexer projektiver Räume) Sei H ∗ = (H ∗ , δ ∗ ) eine Kohomologietherie
mit Werten in R-Moduln. Es sei vorausgesetzt, dass sie das Dimensionaxiom erfüllt und eine multiplikative
Struktur besitzt. Dann erhalten wir für alle k, l ≥ 0 mit k + l ≤ d Isomorphismen
∪ : H 2k (CP d ) ⊗ R H 2l (CP d ) ∼ = → H 2(k+l) (CP d ).
Insbesondere ist die graduiert kommutative Z-graduierte R-Algebra H ∗ (CP ∞ ) isomorph zur freien Polynomalgebra
R[x] mit einem Erzeuger x vom Grad 2.
Analog beweist man dann den folgenden Satz.
Satz 4.2 (Der Kohomologiering reeller projektiver Räume) Sei H ∗ = (H ∗ , δ ∗ ) eine Kohomologietherie
mit Werten in F 2 -Moduln. Es sei vorausgesetzt, dass sie das Dimensionaxiom erfüllt und eine multiplikative
Struktur besitzt. Dann erhalten wir für alle k, l ≥ 0 mit k + l ≤ d Isomorphismen
∪ : H 2k (RP d ) ⊗ F2 H 2l (RP d ) ∼ = → H 2(k+l) (RP d ).
Insbesondere ist die graduiert kommutative Z-graduierte F 2 -Algebra H ∗ (RP ∞ ) isomorph zur freien Polynomalgebra
F 2 [x] mit einem Erzeuger x vom Grad 1.
Satz 4.3 Für 1 ≤ k < d ist CP k ⊂ CP d keine Retraktion, das heißt es gibt keine Abbildung r : CP d →
CP k mit r |CP k = Id. Das analoge Resultat gilt für RP k ⊂ RP d .
14

Index
assoziierte zelluläre Kettenkomplex, 9
Kohomologietheorie, 7
Kokettenkomplex, 9
multiplikative Struktur, 11
n-te Kohomologie, 9
15

Literaturverzeichnis
[Boo02]
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Pr Inc., Sep. 2002.
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[Jos08]
[L¨05]
[Lan02]
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[S.H05] S.Hage. Einführung in die Grundlagen der Morse-Theorie. 1. Aufl. Seminarvortrag, Okt. 2005.
[Spi79] Michael Spivak. Comprehensive Introduction To Differential Geometry, 2nd Edition, Volume 5.
PUBLISH OR PERISH INC, Jan. 1979.
16