Skript

Elementare Differentialgeometrie
Florian Modler (Rhombus e.V.)
19. November 2009

Inhaltsverzeichnis
1 Was ist eine Kurve? 4
1.1 Beispiele für Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Was ist eine Kurve? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Umparametrisierungen und Bogenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Zusammenfassung wichtiger Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Die Länge einer Kurve 14
2.1 Die Länge einer Kuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Einige Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Die Krümmung einer Kurve 21
3.1 Geschlossenheit von Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Krümmung ebener Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Krümmung räumlicher Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Krümmung im n-Dimensionalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Der Satz von Fenchel 30
4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2 Exkurs in die sphärische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.1 Großkreise - Die „Geraden“ auf der Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2.2 Großkreisbögen - Die „Strecken “ auf der Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2.3 Ein paar Begrifflichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Der Satz von Fenchel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4 Abschluss und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5 Jordan-Kurven und Mannigfaltigkeiten 39
5.1 Jordan-Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2 Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6 Der Umlaufsatz 44
6.1 Die Umlaufzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2 Der Umlaufsatz von Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Literaturverzeichnis 56
2

Vorwort
Dieses Training wird gerade für Rhombus e.V., einem Verein zur Förderung mathematikbegeisterter junger
Menschen angeboten. Alle interessierten Teilnehmer sind herzlich willkommen.
Dieses Training zur elementaren Differentialgeometrie basiert auf einem Akademiekurs, der im Jahr
2008 auf einer Akademie in Balderschwang statt fand. Das Skript wiederum basiert auf dem gut strukturierten
Buch von Christian Bär.
In dem Training beschäftigen wir uns mit Kurven und ihren Eigenschaften. Wir werden lernen, wie
wir die Länge einer Kurve berechnen können, wie Krümmung definiert ist oder was der Hauptsatz der
Raumkurventheorie besagt.
Jeder, der mit der mathematischen Denk- und Sprechweise gut zurecht kommt, wird gut mit dem
Training zurecht kommen, da wir keinerlei große Voraussetzungen benötigen.
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Kapitel 1
Was ist eine Kurve?
Was versteht man überhaupt unter einer Kurve? Wie ist sie mathematisch definiert? Und kann man sich
Beispiele für Kurven überlegen und diese dann mittels Maple ® auch zeichnen lassen? Ja, das kann man
natürlich. In diesem ersten Kapitel wollen wir genau dies tun und uns vor allem einige Beispiele für ebene
Kurven und Raumkurven anschauen.
Weiterhin werden wir verschiedene „Darstellungsarten“ von Kurven angeben. Fortschreiten werden
wir danach mit dem Begriff der regulären Kurven und der Parametrisierung nach Bogenlänge. Wir werden
zeigen, dass sich jede regulär parametrisierte Kurve nach Bogenlänge umparametrisieren lässst. Dies wird
der Höhepunkt des ersten Kapitels sein.
1.1 Beispiele für Kurven
Bevor wir Kurven definieren, wollen wir uns ein paar Bildchen anschauen, wie wir uns Kurven in der
Ebene und im Raum vorzustellen haben. Was wir dann genau unter einer Parametrisierung verstehen,
werden wir danach sehen.
Beispiel (Ebene Kurven und Raumkurven):
Ein Kreis: Einen Kreis kann man beispielsweise durch
c : R → R 2 , c(t) := (cos(t), sin(t))
parametrisieren.
Abbildung 1.1: Ein Kreis.
4

1.1 Beispiele für Kurven
Eine Schlaufe: Die Parametrisierung der Schlaufe in der Abbildung 1.2 erfolgt durch
c : R → R 2 , c(t) := (t 2 − 1, t(t 2 − 1)).
Abbildung 1.2: Eine Schlaufe.
Eine Gerade: Eine Gerade besitzt mehrere, genauer unendlich viele, verschiedene Parametrisierungen. Eine
davon ist zum Beispiel gegeben durch
c : R → R 2 , c(t) := (t 3 , t 3 ).
Abbildung 1.3: Eine Gerade.
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1.1 Beispiele für Kurven
Eine Schnecke: Sie sieht aus wie eine Schnecke. Mathematiker sagen zu ihr logarithmische Spirale. Eine
Parametrisierung ergibt sich aus
c : R → R 2 , c(t) := (e −t cos(2πt), e −t sin(2πt)).
Dies sieht dann so aus, wie in Abbildung 1.4.
Abbildung 1.4: Die logarithmische Spirale - eine Schnecke.
Kommen wir nun zu Raumkurven:
Die Helix: Die Helix parametrisiert man wie folgt durch
c : R → R 3 , c(t) := (cos(t), sin(t), t).
Abbildung 1.5: Die Helix.
Konische Spirale: Eine weitere schöne Raumkurve ist die konische Spirale. Die Parametrisierung ergibt
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1.2 Was ist eine Kurve?
sich aus
c : R → R 3 , c(t) := (t cos(t), t sin(t), t).
Abbildung 1.6: Die konische Spirale.
Blumenkurve: Es ist den Autoren unbekannt, ob die folgende Kurve in der Literatur wirklich so genannt
wird, aber wir wollen sie die Blumenkurve nennen, da sie wie eine Blume aussieht. Ihre Parametrisierung
ist etwas komplizierter und aufwendiger. Dazu setzen wir s(t) := 1 + 5t + t ⋅ sin(2πt). Damit folgt die
Parametrisierung
c : R → R 3 , c(t) := (s(t) ⋅ cos(2πt), s(t) ⋅ sin(2πt), 0.01 ⋅ r 2 ⋅ (1 + sin(20πt)) + t 2 ).
Abbildung 1.7: Die Blumenkurve.
In unserem Beispiel ist r = 1.
1.2 Was ist eine Kurve?
Nun haben wir uns schon munter Kurven angeschaut, wissen aber immer noch nicht, was man mathematisch
unter einer Kurve versteht. Dies wollen wir schleunigst nachholen:
Anschaulich ist eine Kurve nichts anderes als ein, in der Regel verbogenes, in den Raum gelegtes Geradenstück.
Mathematisch definieren wir
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1.2 Was ist eine Kurve?
Definition 1.1 (Kurve) Sei I ⊂ R ein Intervall. Eine parametrisierte Kurve ist eine unendlich oft differenzierbare
Abbildung der Form
c : I ⊂ R → R n .
Das Intervall I kann offen, abgeschlossen oder halbabgeschlossen sein. Ebenfalls kann das Intervall
beschränkt oder unbeschränkt sein. Dies spielt keine Rolle.
Wir werden vorwiegend ebene Kurven oder Raumkurven betrachten, das heißt Abbildungen der Form
c : I ⊂ R → R 2 oder c : I ⊂ R → R 3 .
Definition 1.2 (regulär parametrisiert) Eine parametrisierte Kurve heißt regulär parametrisiert, wenn
der Geschwindigkeitsvektor (erste Ableitung), wir schreiben hierfür c ′ (t), nirgends verschwindet, das
heißt, wenn
c ′ (t) ∕= 0 ∀t ∈ I.
Wir stellen mit dieser Bedingung sicher, dass sich beim Durchlauf von t ∈ I der Kurvenpunkt c(t)
tatsächlich bewegt. Wir schließen damit konstante Abbildungen der Form c(t) = d, d ∈ R aus. Das ist
sicherlich sinnvoll, denn das Bild dieser Abbildung besteht nur aus dem Punkt d und das ist nicht gerade
das, was man sich unter einer Kurve vorstellt.
Eine kurze Anmerkung zur Schreibweise: Für eine Abbildung der Form c : I ⊂ R → R n ist in
Koordinatenschreibweise
c(t) = (c 1 (t), c 2 (t), . . . , c n (t))
und für die erste Ableitung
c ′ (t) = (c ′ 1(t), c ′ 2(t), . . . , c ′ n(t)).
Jede Komponente besteht also aus einer Funktion, die dann differenziert wird. Es gilt genauer
c ′ j = d dt c j
∀j = 1, . . . , n.
Dies ist Wissen aus der Analysis 2.
Den Ableitungsvektor c ′ (t) bezeichnen wir auch als Tangentialvektor. Physikalisch wird er als Geschwindigkeitsvektor
zum Zeitpunkt t interpretiert.
Beispiel (Die Traktrix): Die sogenannte Schleppkurve (Traktrix) kann parametrisiert werden durch
c :
(
0, π )
→ R 2 , c(t) = (sin(t), cos(t) − log(tan(t/2))) .
2
Graphisch veranschaulichen wir dies in Abbildung 1.8.
Es gilt
c ′ (t) =
(
)
1
cos(t), − sin(t) −
tan(t/2) ⋅ 1
cos 2 .
(t/2)
Wir könnten nun die Kurve c auf ganz (0, π) definieren. Das Problem ist aber, dass für t = π 2 sich
c(π/2) = (0, 0) ergebe. Daher hätte die Kurve in diesem Punkt, also im Ursprung (0, 0), eine Spitze. Und
genau sowas wollen wir durch unsere Definition der Regulärität ausschließen.
Zur Übung wollen wir einige Geschwindigkeitsvektoren berechnen.
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1.2 Was ist eine Kurve?
Abbildung 1.8: Die Traktrix.
Beispiel: Den Kreis hatten wir weiter oben parametrisiert durch c(t) = (cos(t), sin(t)). Für den
Geschwindigkeitsvektor ergibt sich nun c ′ (t) = (sin(t), cos(t)). Es gilt natürlich c ′ (t) ∕= 0 für
alle t, da Sinus und Kosinus niemals an derselben Stelle t Null werden. Dies macht man sich zum
Beispiel klar, wenn man sich das Bild vom Sinus und Kosinus vor Augen führt.
Die Gerade hatten wir parametrisiert durch c(t) = (t 3 , t 3 ). Es ergibt sich c ′ (t) = (3t 2 , 3t 2 ).
Die Neilsche Parabel, die durch
c : R → R 2 , c(t) = (t 2 , t 3 )
parametrisiert wird, ist für t = 0 nicht regulär, da dann c ′ (0) = (0, 0), denn es gilt c ′ (t) = (2t, 3t 2 ).
Abbildung 1.9: Die Neilsche Parabel.
Kommen wir zu einem Beispiel für Raumkurven:
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1.3 Umparametrisierungen und Bogenlänge
Der Geschwindigkeitsvektor der Helix lautet c ′ (t) = (− sin(t), cos(t), 1). Auch hier sieht man,
dass die Helix regulär parametrisiert ist, da der letzte Eintrag des Geschwindigkeitsvektors immer
konstant 1 ist.
Das Beispiel 1.1 des Kreises zeigt, dass eine regulär parametrisierte Kurve nicht unbedingt injektiv sein
muss. Man kann die Injektivität aber nach Einschränkung auf ein kleines Intervall fordern. Darauf kommen
wir nochmals zu sprechen, wenn wir den Begriff von „einfach geschlossen“ einführen und motivieren
werden.
1.3 Umparametrisierungen und Bogenlänge
In diesem Abschnitt wollen wir den Begriff der Bogenlänge teils einführen und teils voraussetzen und
uns klar machen, was es bedeutet, wenn eine Kurve nach Bogenlänge parametrisiert ist. Wir widmen
dem Begriff einen ganzen Abschnitt, da dieser für die Berechnung der Länge einer Kurve angenehme
Konsequenzen hat, wie wir im nächsten Kapitel sehen werden. Zuvor müssen wir aber noch ein paar
andere Dinge definieren.
Eine Kurve c : I ⊂ R → R n ist die Punktmenge c(I) ⊂ R n zusammen mit seiner Parametrisierung.
Diese Parametrisierung gibt an, wie c(I) durchlaufen werden soll. Wir haben schon gesehen, dass man
zum Beispiel eine Gerade auf vielerlei Arte parametrisieren kann, ohne das Bild zu ändern!
Häufig möchte man die Parametrisierung ändern und dabei die Bildkurve aber so belassen, wie sie ist.
Hierfür definieren wir:
Definition 1.3 (Umparametrisierung) Sei c : I ⊂ R → R n eine parametrisierte Kurve. Eine Parametertransformation
von c ist eine bijektive Abbildung φ : J → I, wobei J ⊂ R ein weiteres Intervall ist,
so dass sowohl φ : J → I als auch φ −1 : I → J unendlich oft differenzierbar sind. Die parametrisierte
Kurve ˜c := c ∘ φ : J → R n heißt Umparametrisierung von c.
Folgende Abbildung 1.10 verdeutlicht Definition 1.3 ganz gut.
Abbildung 1.10: Eine Umparametrisierung.
Wir wollen nun zeigen, dass die Umparametrisierung einer Kurve c die Eigenschaft der Regularität
erhält, das heißt wir beweisen den folgenden Satz.
Satz 1.4 Gegeben sei eine reguläre Parametrisierung der Kurve c. Dann ist jede Umparametrisierung wieder
regulär.
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1.3 Umparametrisierungen und Bogenlänge
Beweis: Sei dazu ˜c := c ∘ φ die Umparametrisierung einer regulären Kurve c. Es gilt φ(t) ∕= 0 für alle
t ∈ J. Daraus ergibt sich nun mittels Differentation auf beiden Seiten
1 = d dt
(
φ −1 ∘ φ(t) ) (t)
und nach der Kettenregel
d
dt φ−1 (φ(t)) ⋅ d dt φ(t) ⇒ d dt φ(t) = φ′ (t) ∕= 0
∀t ∈ J.
Also ergibt sich
˜c ′ (t) = (c ∘ φ) ′ (t) = c(φ(t)) ⋅ φ ′ (t) ∕= 0
und damit die Regularität der umparametrisierten Kurve und folglich die Behauptung.
Was eine Parametertransformation aber ändern kann, ist die Richtung, in der die Bildkurve durchlaufen
wird. Sie kann sie entweder erhalten oder umkehren.
Definition 1.5 Eine Parametertransformation φ heißt orientierungserhaltend, falls φ ′ (t) > 0 ∀t und
orientierungsumkehrend, falls φ ′ (t) < 0 ∀t.
Die triviale Parametertransformation φ(t) = t beispielsweise ändert nichts an der parametrisierten
Kurve, die Parametertransformation ψ(t) = −t dagegen ändert den Durchlaufsinn. Es ist klar, dass
eine Parametertransformation entweder orientierungserhaltend oder orientierungsumkehrend ist. Dies
begründet man mit dem Zwischenwertsatz aus der Analysis. Denn angenommen, es gibt ein t 1 ∈ I
mit φ ′ (t 1 ) < 0 und ein t 2 ∈ I mit φ ′ (t 2 ) > 0, so gäbe es nach dem Zwischenwertsatz ein t 3 ∈ I
mit φ ′ (t 3 ) = 0. Dies ist aber nicht möglich. Was haben wir durch die obigen Überlegungen nun aber
gewonnen? Wir wissen jetzt, dass die Parametrisierung einer Kurve irrelevant ist. Wir definieren den
Begriff der Kurve nochmals mathematisch sauberer:
Definition 1.6 (Kurve) Eine Kurve ist eine Äquivalenzklasse von regulär parametrisierten Kurven, wobei
diese äquivalent sind, wenn sie Umparametrisierungen von einander sind.
Die Beispiele 1.1 liefern alle verschiedene Kurven, da sie unterschiedliche Bilder im R 2 bzw. im R 3
besitzen und somit nicht durch Parametertransformation aus einander hervorgehen können.
Beispiel: Betrachten wir nun noch ein Beispiel von regulär parametrisierte Kurven, die man so umparametrisieren
kann und somit zeigen kann, dass sie dieselbe Kurve darstellen und beschreiben, also
äquivalent sind.
Dazu betrachten wir die beiden regulär parametrisierten Kurven
c 1 : R → R 2 , c 1 (t) = (t, t)
und
c 2 : R → R 2 , c 2 (t) = (log(t), log(t)).
Diese beiden Kurven sind äquivalent, denn es gilt mit der Parametertransformation φ(t) = e t gerade
c 1 (t) = (c 2 ∘ φ)(t) = c 2 (φ(t)) = log(e t ) = t.
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1.3 Umparametrisierungen und Bogenlänge
Sie repräsentieren daher dieselbe Kurve.
Nun zu einer wichtigen Definition.
Definition 1.7 (Bogenlänge) Eine nach Bogenlänge parametrisierte
√
Kurve ist eine reguläre Kurve c :
I ⊂ R → R n mit ∣c ′ (t)∣ = 1 ∀t ∈ I. Dabei gilt ∣c ′ (t)∣ = (t) + . . . + c2′ n (t).
Nach Bogenlänge parametrisierte Kurven werden also mit konstanter Geschwindigkeit 1 durchlaufen.
Welche Vorteile dies zum Beispiel bei der Berechnung der Länge von Kurven hat, werden wir im nächsten
Kapitel sehen.
Definition 1.8 (proportional parametrisiert) Eine proportional zur Bogenlänge parametrisierte Kurve
ist eine regulär parametrisierte Kurve c : I ⊂ R → R n , für die ∣c ′ (t)∣ = const. für alle t gilt.
Definition 1.9 (Spur) Wird eine Kurve durch eine regulär parametrisierte Kurve c : I ⊂ R → R n
repräsentiert, dann nennt man das Bild c(I) auch die Spur der Kurve.
Satz 1.10 Jede regulär parametrisierte Kurve lässt sich so umparametrisieren, dass die Umparametrisierung
nach Bogenlänge parametrisiert ist.
Diesen Satz lassen wir uns nochmal auf der Zunge zergehen: Jede regulär parametrisierte Kurve kann
nach Bogenlänge umparametrisiert werden. Das ist ein sehr nützlicher Satz, wie wir später auch noch
sehen werden. Man muss aber dazu sagen, dass es in der Realität nicht so leicht ist, die Umparametrisierungen
zu finden.
Wir formulieren den Satz etwas um und fragen nach der Existenz solcher Umparametrisierungen.
Satz 1.11 Zu jeder regulär parametrisierten Kurve c : I ⊂ R → R n gibt es eine orientierungserhaltende
Parametertransformation φ, so dass die Umparametrisierung c ∘ φ nach Bogenlänge parametrisiert ist.
Beweis: Sei c : I ⊂ R → R n regulär parametrisiert und t 0 ∈ I. Für den Beweis definieren wir ψ(s) :=
∫ s
t 0
∣c ′ (t)∣ dt. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ergibt sich nun ψ ′ (s) = ∣c ′ (s)∣ >
0. Das bedeutet wiederum, dass ψ streng monoton wachsend ist. Dies liefert, dass ψ : I → J := ψ(I)
eine orientierungserhaltende Parametertransformation ist. Wir setzen φ := ψ −1 : J → I. Unter Anwendung
der Kettenregel folgt:
Dies ergibt:
φ ′ (t) =
c 2′
1
1
ψ ′ (φ(t)) = 1
∣c ′ (φ(t))∣ .
∣˜c ′ (t)∣ = ∣(c ∘ φ) ′ (t)∣ = ∣c ′ (φ(t)) ⋅ φ ′ (t)∣ =
1
∣ c′ (φ(t)) ⋅
∣c ′ (φ(t))∣∣ = 1.
Also ist ˜c nach Bogenlänge parametrisiert.
Mit dem Satz 1.11 folgt die Existenz. Bleibt uns noch die Frage nach der Eindeutigkeiet zu klären:
Lemma 1.12 Sind c 1 : I 1 ⊂ R → R n und c 2 : I 2 ⊂ R → R n Parametrisierungen nach der Bogenlänge
derselben Kurve c, so ist die zugehörige Parametertransformation φ : I 1 → I 2 mit c 1 = c 2 ∘ φ von der
Form φ(t) = t + t 0 für ein t 0 ∈ R, falls c 1 und c 2 gleich orientiert sind. Falls c 1 und c 2 entgegengesetzt
orientiert sind, ist sie von der Form φ(t) = −t + t 0 .
Beweis: Siehe Übungsaufgabe 1.1.
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1.4 Zusammenfassung wichtiger Begriffe
Bevor wir das Lemma richtig beweisen können, brauchen wir aber noch die Definition der Orientierung:
Definition 1.13 (Orientierung) Eine orientierte Kurve ist eine Äquivalenzklasse von parametrisierten
Kurven, wobei diese als äquivalent angesehen werden, wenn sie durch orientierungserhaltende Parametertransformationen
auseinander hervorgehen.
Jede orientierte Kurve bestimmt genau eine Kurve. Das bedeutet: Jede Kurve besitzt genau zwei Orientierungen.
1.4 Zusammenfassung wichtiger Begriffe
Wir haben nun eine Menge an neuen Begriffen und Sätzen gelernt. Wir wollen diese der Übersicht halber
nochmal zusammenfassen und zusammenstellen:
Parametrisierte Kurve: Eine parametrisierte Kurve ist eine Abbildung c : I → R n , wobei I ⊂ R ein
Intervall ist. Dabei ist c : I → R n unendlich oft differenzierbar ist.
Regulär parametrisierte Kurve: Eine Kurve c : I → R n heißt regulär, wenn c ′ (t) ∕= 0 ∀t ∈ I.
Geschwindigkeitsvektor: c ′ (t) = (c ′ 1 (t), . . . , c′ n(t)) ist der Tangentialvektor an die Kurve c : I → R n in
c(t) und wird auch als Geschwindigkeitsvektor zur Zeit t bezeichnet.
Parametertransformation und Umparametrisierung: Sei c : I ⊂ R → R n eine parametrisierte Kurve.
Eine Parametertransformation von c ist eine bijektive Abbildung φ : J → I, wobei J ⊂ R ein
weiteres Intervall ist, so dass sowohl φ : J → I als auch φ −1 : I → J unendlich oft differenzierbar
sind. Die parametrisierte Kurve ˜c := c ∘ φ : J → R n heißt Umparametrisierung von c.
Orientierungserhaltend und orientierungsumkehrend: Eine Parametertransformation φ heißt orientierungserhaltend,
falls φ ′ (t) > 0 ∀t und orientierungsumkehrend, falls φ ′ (t) < 0 ∀t.
Bogenlänge: Eine nach Bogenlänge parametrisierte
√
Kurve ist eine reguläre Kurve c : I ⊂ R → R n
mit ∣c ′ (t)∣ = 1 ∀t ∈ I. Dabei gilt ∣c ′ (t)∣ = (t) + . . . + c2′ n (t).
c 2′
1
13

Kapitel 2
Die Länge einer Kurve
Wie kann man die Länge einer Kurve in einem bestimmten Intervall berechnen? Wir werden sehen, dass
es ein „Näherungsverfahren“ gibt, das wir aber auf ein schönes und einfacheres Berechnungsverfahren
„verallgemeiner“ können. Es wird möglich sein, durch einfache Integralrechnung die Länger einer Kurve
in einem bestimmten Intervall zu bestimmen. Anders formuliert: Wir werden zwei Definitionen der Länge
einer Kurve geben, dann aber in einem etwas längeren und aufwendigeren Beweis zeigen, dass beide
Definitionen äquivalent zu einander sind. Außerdem werden wir sehen, was für Vorteile es mit sich
bringt, wenn die Kurve nach Bogenlänge parametrisiert ist. Auch an Beispielen werden wir in diesem
zweiten Kapitel nicht sparen.
2.1 Die Länge einer Kuve
Ziel dieses Abschnitts und des gesamten Kapitels soll es nun sein, die Länge einer Kurve in einem bestimmten
Intervall zu berechnen. Stellt man sich eine beliebige Kurve vor, so könnte man die Kurve
doch durch Polygonzüge (Streckenzüge) approximieren und durch Grenzwertübergang würden wir dann
ziemlich genau die Länge der Kurve erhalten. Betrachten wir die folgende Abbildung 2.1.
Abbildung 2.1: Approximation durch Polygonzüge.
Unterteilen wir das entsprechende Intervall immer weiter, so bekommen wir eine noch genauere Näherung
der eigentlichen Länge der Kurve:
Abbildung 2.2: Verkleinern der Streckenzüge liefert genauere Approximation der Kurvenlänge.
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2.1 Die Länge einer Kuve
Nun wollen wir dies etwas mathematisieren:
Erst einmal schauen wir uns die Abbildungen 2.1 und 2.2 noch einmal genauer an. Um nun die Länge
der Kurve zu bestimmen, approximieren wir also die Kurve durch Streckenzüge, das heißt wir wählen
eine Zerlegung des Intervalls [a, b] durch a = t 0 < t 1 < . . . < t k = b mit k ∈ N und bilden damit den
Streckenzug, indem wir bei c(t 1 ) starten, geradlinig zu c(t 2 ) laufen, von hier weiter geradlinig zu c(t 3 )
und so weiter, bis wir schließlich bei c(t k ) angekommen sind. Die Länge dieser Strecken ist also durch
∣c(t i )−c(t i−1 )∣ der Punkt c(t i−1 ) und c(t i ) gegeben. So erhalten wir die Länge der Verbindungsstrecken.
Die Länge des gesamten Streckenzugs ist damit die Summe
k∑
∣c(t i ) − c(t i−1 )∣.
i=1
Definition 2.1 (Rektifizierbarkeit einer Kurve) Eine parametrisierte Kurve c : I ⊂ R → R n heißt auf
dem Intervall [a, b] ⊂ I rektifizierbar, falls
k∑
L[P ] := L(c ∣[a,b] ) := sup{ ∣c(t i ) − c(t i−1 )∣ : k ∈ N, a = t 0 < t 1 < . . . < t k = b}
i=1
endlich ist, also wenn L(c ∣[a,b] ) < ∞. In diesem Fall nennen wir L(c ∣[a,b] ) die Länge der Kurve c auf
dem Intervall [a, b].
Wählt man also eine Verfeinerung der Zerlegung, so wird der Weg im Allgemeinen durch den feineren
Streckenzug besser approximiert und die Länge des feineren Streckenzugs wird aufgrund der Dreiecksungleichung
höchstens länger.
Er ist nun aber sehr umständlich, die Länge einer Kurve mittels Streckenzüge zu berechen. Wir definieren
daher die Länge einer Kurve noch etwas anders:
Definition 2.2 (Länge einer Kurve) Sei c : [a, b] ⊂ I → R n eine parametrisierte Kurve. Dann heißt
∫ b
L[c] = ∣c ′ (t)∣ dt
a
die Länge der Kurve c im Intervall [a, b].
Jetzt haben wir also zwei Definitionen gegeben, die man zur Berechnung der Länge einer Kurve heranziehen
kann. Es wäre also sehr von Vorteil, wenn wir zeigen könnten, dass diese beiden äquivalent sind.
Dies wollen wir jetzt in Angriff nehmen. Wir zeigen also nun den folgenden Satz.
Satz 2.3 Sei c : [a, b] → R n eine parametrisierte Kurve. Dann gibt es für jedes ε > 0 ein δ > 0, so dass
für jede Unterteilung a = t 0 < t 1 < . . . < t k = b mit t i+1 − t i < δ, wobei i = 0, . . . , k gilt
∣L[c] − L[P ]∣ < ε wobei P = (c(t 0 ), . . . , c(t k )).
Beweis: Der Beweis ist etwas umfangreicher und verläuft in insgesamt fünf ( Schritten. ) Also tief durchatmen,
Luft holen und los geht es. Sei ε > 0 vorgegeben. Wir wählen ε ′ ε
∈ 0,
1+ √ . Wieso das Sinn
n(b−a)
macht, werden wir gleich noch sehen.
15

2.1 Die Länge einer Kuve
1. Schritt: Wir behaupten:
Lemma 2.4 Zu ε ′ existiert ein δ 0 > 0, so dass für jede Unterteilung a = t 0 < t 1 < . . . < t k = b
mit t i+1 − t i < δ 0 , i = 0, . . . , k gilt:
k−1
∣ L[c] ∑
∣c ′ (t i+1 ) ⋅ (t i+1 − t i )∣
∣ < ε′ .
i=0
Beweis: Das Integral von Riemann-integrierbaren Funktionen kann durch Riemannsche Summen
approximiert werden. Es gilt
∣
∫ b
a
k−1
∑
f(t) dt − f(t i+1 ) ⋅ (t i+1 − t i )
∣ < ε.
i=0
Hier ist L[c] = ∫ b
a ∣c′ (t)∣ dt, das heißt f(t) = ∣c ′ (t)∣.
2. Schritt: Wir zeigen:
Lemma 2.5 Zu ε ′ existiert ein δ j > 0, so dass ∣c ′ j (t) − c′ j (s)∣ < ε′ , falls ∣t − s∣ < δ j mit t, s ∈ [a, b].
Beweis: c ′ j : [a, b] → R sind stetig und [a, b] kompakt (nach Heine-Borel, da abgeschlossen und
beschränkt). Daraus folgt, dass c ′ j , j = 1, . . . , n gleichmäßig stetig sind.
3. Schritt: Wir definieren δ := min{δ 0 , . . . , δ n }. Sei nun eine Unterteilung a = t 0 < t 1 < . . . < t k = b
der Feinheit kleiner als δ vorgegeben. Nach dem Mittelwertsatz der Analysis existiert ein τ i,j ∈
(t i , t i+1 ), so dass
4. Schritt: Wir behaupten:
Lemma 2.6 Es gilt:
c j (t i+1 ) − c j (t i ) = c ′ j(τ i,j )(t i+1 − t i ).
∣
∣∣c(t i+1 ) − c(t i )∣ − ∣c ′ (t i+1 ) ⋅ (t i+1 − t i )∣ ∣ ∣ < √ n ⋅ ε ′ (t i+1 − t i ).
Beweis: Wir rechnen nach:
∣
∣∣c(t i+1 ) − c(t i )∣ − ∣c ′ (t i+1 ) ⋅ (t i+1 − t i )∣ ∣ ∣ =
∣ ( c ′ 1(τ i,1 ), . . . , c ′ n(τ i,1 ) )∣ ∣ − ∣ ∣ ( c ′ 1(t i+1 ), . . . , c ′ n(t i+1 ) )∣ ∣ ⋅ (t i+1 − t i )
≤ ∣ ∣c ′ 1(τ i,1 ) − c ′ 1(t i+1 ), . . . , c ′ n(τ i,1 ) − c ′ n(t i+1 ) ∣ ⋅ (t i+1 − t i )
√
n∑
= ⎷ (c ′ j (τ i,1) − c ′ j (t i+1)) 2 ⋅ (t i+1 − t i )
j=1
≤ √ n ⋅ ε ′ (t i+1 − t i )
16

2.1 Die Länge einer Kuve
5. Schritt: Summation über i liefert nun:
∣ k−1
∣ L[P ] − ∑
∣∣∣∣ k−1
∣c ′ (t i+1 )∣ ⋅ (t i+1 − t i )
∣ = ∑
∑k−1
∣c(t i+1 ) − c(t i )∣ − ∣c ′ (t i+1 )∣ ⋅ (t i+1 − t i )
∣
i=0
i=0
∑k−1
≤ ∣ ∣c(ti+1 ) − c(t i )∣ − ∣c ′ (t i+1 ) ⋅ (t i+1 − t i )∣ ∣ i=0
∑k−1
√
≤ n ⋅ ε ′ ⋅ (t i+1 − t i ) = √ ∑k−1
n ⋅ ε ′ (t i+1 − t i ) = √ nε ′ (b − a).
i=0
i=0
Nun ergibt sich insgesamt die Behauptung und zwar folgt:
k−1
∣L[P ] − L[c]∣ =
∣ L[P ] − ∑
∑k−1
∣c ′ (t i+1 )∣ ⋅ (t i+1 − t i ) + ∣c ′ (t i+1 )∣ ⋅ (t i+1 − t i ) − L[c]
∣
i=0
i=0
∣ k−1
≤
∣ L[P ] − ∑
∣∣∣∣ k−1
∣c ′ (t i+1 )∣ ⋅ (t i+1 − t i )
∣ + ∑
∣c ′ (t i+1 )∣(t i+1 − t i ) − L[c]
∣
i=0
i=0
≤ √ n ⋅ ε ′ (b − a) + ε ′ = ε ( 1 + √ n(b − a) ) < ε,
denn ε ′ <
ε
1+ √ n(b−a) .
Damit ist ales gezeigt und jetzt versteht ihr auch, wieso wir am Anfang ε ′ so gewählt haben.
Am besten schaut man sich den Beweis noch einmal in Ruhe an. Er ist nicht schwer, sondern man muss
nur eine Menge aufschreiben.
Wir verwenden natürliche die zweite Definition der Länge einer Kurve. Es ist jetzt klar, wieso man
sich über den Satz 1.10 so freuen kann. Dort hatten wir gezeigt, dass jede regulär parametrisierte Kurve
nach Bogenlänge umparametrisiert werden kann. Eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve ist also
gerade so lang wie das Parameterintervall. Wir müssen jetzt noch einmal zeigen, dass sich die Länge
einer Kurve aber unter Umparametrisieren nich ändert. Dies ist die Aussage des nächsten Satzes.
Satz 2.7 (Länge unabhängig von Wahl der Parametrisierung) Sei c : [a, b] → R n regulär parametrisiert
und ˜c = c ∘ φ : [a ′ , b ′ ] → R n eine Umparametrisierung mit φ : [a ′ , b ′ ] → [a, b]. Dann gilt L[c] = L[˜c].
Beweis: Dies folgt sofort aus der Kettenregel und dem Transformationssatz für Integrale, genauer: Sei
˜c = c∘φ die Umparametrisierung von c und φ : [a ′ , b ′ ] → [a, b]. O.B.d.A. nehmen wir an, dass φ ′ (t) > 0,
das heißt φ ist orientierungserhaltend. Es folgt nun:
L[˜c] =
∫ b′
a ′ ∣˜c ′ (t)∣ dt =
∫ b′
a ′ ∣(c ∘ φ) ′ (t)∣ dt =
Substitution s := φ(t) liefert ds
dt = φ′ (t) und damit:
L[˜c] = . . . =
∫ b′
a ′ ∣ ∣ c ′ (φ(t)) ⋅ φ ′ (t) ∣ ∣ dt =
∫ b
a
∣c ′ (s)∣ ds = L[c]
i=0
∫ b′
a ′
∣c ′ (φ(t))∣ ⋅ ∣φ ′ (t)∣ dt.
17

2.2 Einige Beispiele
Und da steht das Gewünschte L[˜c] = L[c].
Man kann also von der Länge einer Kurve sprechen, da die Länge parametrisierter Kurven nicht von
der speziellen Parametrisierung abhängt.
2.2 Einige Beispiele
Um die Länge einer Kurve c : [a, b] → R n im Intervall [a, b] zu berechnen, müssen wir also nur das
Integral L[c] = ∫ b
a ∣c′ (t)∣ dt berechnen. Schauen wir uns ein paar Beispiele an.
Beispiel:
Wir betrachten den Kreis c : [0, 2π] → R 2 , c(t) = (r cos(t), r sin(t)), wobei r der
Radius ist. Wir wollen die Länge der Kurve im Intervall [0, 2π] berechnen. Dazu benötigen wir
zunächst den Geschwindigkeitsvektor c ′ (t). Dieser ist gerade gegeben durch
c ′ (t) = (−r sin(t), r cos(t)) = r(− sin(t), cos(t)).
Dadurch ergibt sich die folgende Länge der Kurve:
∫ 2π
0
∣c ′ (t)∣ dt =
∫ 2π
0
∣(−r sin(t), r cos(t))∣ dt =
∫ 2π
0
√
r 2 (sin 2 (t) + cos 2 (t)) dt =
∫ 2π
0
r dt = 2πr.
Wir betrachten die Zykloide c : [0, 2π] → R 2 , c(t) := (t − sin(t), 1 − cos(t)). Wir berechnen die
Länge der Kurve im Intervall [0, 2π]. Zunächst ist c ′ (t) = (1 − cos(t), sin(t)), also
√
∣c ′ (t)∣ = ∣(1 − cos(t), sin(t))∣ = (1 − cos(t)) 2 + sin 2 (t)
√
= 1 − 2 cos(t) + cos 2 (t) + sin 2 (t) = √ 2(1 − cos(t)).
Die Länge der Kurve ist demnach gegeben durch
∫ 2π
0
∣c ′ (t)∣ dt =
∫ 2π
0
√
2(1 − cos(t)) dt = . . . = 8.
Nun aber endlich zu einem Beispiel einer Kurve, die nach Bogenlänge parametrisiert ist, und deren
Länge man auf einem bestimmten Intervall direkt ablesen kann.
Wir verwenden als Beispiel einfach den Einheitskreis c : R → R 2 , c(t) = (cos(t), sin(t)) und wollen
die Länge im Intervall [0, π] berechnen. Wir wissen, dass c(t) nach Bogenlänge parametrisiert
ist, denn
∣c ′ (t)∣ = ∣(− sin(t), cos(t))∣ =
√
sin 2 (t) + cos 2 (t) = 1.
Also folgt sofort
∫ π
∫ π
L[c] = ∣c ′ (t)∣ dt = dt = π.
0
0
18

2.3 Zusammenfassung
Der ein oder andere wird sich vielleicht fragen, wieso wir die Kurven aus den ersten Beispielen nicht
einfach nach Bogenlänge umparametrisieren, damit wir das Integral leichter ermitteln können. Der Grund
liegt einfach darin, dass solche Umparametrisierungen in der Realität nicht so leicht zu finden sind.
Wir berechnen die Länge der logarithmischen Spirale c : R → R 2 , c(t) := μe λt ⋅ (cos(t), sin(t))
mit μ < 0 < λ auf einem Intervall [a, b]. Da c ′ (t) = μe λt (λ cos(t) − sin(t), λ sin(t) + cos(t)),
folgt
∣c ′ (t)∣ =
√
(μe λt ) 2 ⋅ √ (λ cos(t) − sin(t), λ sin(t) + cos(t)) 2
= (μe λt ) 2 √λ 2 cos 2 (t) − 2λ cos(t) sin(t) + sin 2 (t) + λ 2 sin 2 (t) + 2λ sin(t) cos(t) + cos 2 (t)
= (μe λt ) 2 √λ 2 cos 2 (t) + λ 2 sin 2 (t) + sin 2 (t) + cos 2 (t)
= (μe λt ) 2√ 1 + λ 2 .
Wir erhalten also
∫ b
L(c ∣[a,b] ) = (μe λt ) 2√ 1 + λ 2 = μ λ (eλb − e λa ).
a
Die Helix mit der Ganghöhe h und Radius r > 0 ist die Kurve
c : R → R 3 , c(t) := (r cos(t), r sin(t), ht
2π .
Der Geschwindigkeitsvektor von c ist c ′ (t) = (−r sin(t), r cos(t), h/2π). Damit besitzt c ′ (t) die
Länge
√
∣c ′ (t)∣ =
h
∣ (−r sin(t), r cos(t), 2π ∣ = r 2 sin 2 (t) + r 2 cos 2 (t) + h2
4π
√
√
2
= r 2 (sin 2 (t) + cos 2 (t)) + h2
4π 2 = r 2 + h2
4π 2 .
Daraus ergibt sich nun
L(c ∣[a,b] ) = (b − a) ⋅
√
r 2 + h2
4π 2 .
Für proportioanl nach Bogenlänge parametrisierte Kurven gilt demnach
L(c ∣[a,b] ) = (b − a) ⋅ ∣c ′ (t)∣.
2.3 Zusammenfassung
In diesem Abschnitt haben wir nicht allzu viel zusammenzufassen, aber dennoch ein paar Kleinigkeiten:
Länge einer Kurve: Sei c : [a, b] → R n eine regulär parametrisierte Kurve. Dann heißt
∫ b
L[c] = ∣c ′ (t)∣ dt
a
19

2.3 Zusammenfassung
die Länge der Kurve c im Intervall [a, b].
Die Länge einer Kurve ändert sich beim Umparametrisieren nicht.
Die Länge einer nach Bogenlänge parametrisierten Kurve ist die Länge des Intervalls.
20

Kapitel 3
Die Krümmung einer Kurve
In diesem Abschnitt soll es um die Krümmung von ebenen und räumlichen Kurven gehen. Das Gute
ist, dass man sich unter der Krümmung anschaulich sehr gut etwas vorstellen kann. Wir werden also
zunächst einmal zeigen, was man unter der Krümmung zu verstehen hat und wie diese im R 2 bzw. im R 3
definiert ist und ob es vielleicht ein Problem zwischen diesen beiden Definitionen gibt.
3.1 Geschlossenheit von Kurven
Zunächst wollen wir zwei Begriffe definieren, die wir später noch einmal benötigen werden. Diese haben
zunächst nicht viel mit der Krümmung zu tun. Wir führen sie aber der Vollständigkeit halber aus.
Definition 3.1 (Periode, geschlossen) Sei c : R → R 2 eine parametrisierte Kurve. Diese Kurve heißt
periodisch mit Periode L, falls für alle t ∈ R gilt, dass
c(t + L) = c(t) mit L > 0.
Außerdem fordert man, dass es kein 0 < L ′ < L gibt mit c(t + L ′ ) = c(t) ∀t ∈ R. Eine Kurve heißt
geschlossen, wenn sie eine periodische reguläre Parametrisierung besitzt.
Beispiel: Der Kreis aus Kapitel 1 ist periodisch mit Periode L = 2π.
Definition 3.2 (einfach geschlossen) Eine geschlossene Kurve c heißt einfach geschlossen, wenn sie eine
periodische reguläre Parametrisierung c mit Periode L besitzt, so dass die Einschränkung auf das Intervall
[0, L], also c ∣[0,L] injektiv ist.
Verdeutlichen wir uns die Definition anhand zweier Bilder. Siehe dazu die Abbildungen 3.1 und 3.2
Abbildung 3.1: Beispiel einer einfach geschlossenen Kurve im R 2 .
21

3.2 Krümmung ebener Kurven
Abbildung 3.2: Ein Beispiel einer Kurve im R 2 , die nicht einfach geschlossen ist.
3.2 Krümmung ebener Kurven
Anschauchlich ist uns klar, was wir unter einer ebenen Kurve verstehen, und wir haben mit diesen auch
schon gearbeitet. Trotzdem geben wir nochmals die exakte mathematische Definition an:
Definition 3.3 (Ebene Kurve) Eine parametrisierte Kurve c : I → R 2 heißt ebene parametrisierte
Kurve.
Analog wie in Kapitel 1 sind natürlich ebene regulär parametrisierte und ebene nach Bogenlänge parametrisierte
Kurven definiert und zu verstehen.
Was versteht man nun anschaulich unter der Krümmung einer ebenen Kurve?
Dies ist eigentlich recht einfach: Die Krümmung ist ein Maß dafür, wie stark die Kurve von einer Geraden
abweicht. Um die Krümmung mathematisch zu definieren, benötigen wir den Begriff des Normalenfeldes
bzw. des Normalenvektors. Im Zweidimensionalen gibt es nämlich die „Besonderheit“, ein Normalenfeld
zu definieren.
Definition 3.4 (Normalenfeld) Sei c : I → R 2 eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Das Normalenfeld
ist definiert als
( )
0 −1
n(t) = ⋅ c ′ (t).
1 0
Anschaulich macht man sich dies anhand der Abbildung 3.3 deutlich.
Der Geschwindigkeitsvektor c ′ (t) wird also um 90 Grad gedreht im mathematisch positiven Sinne.
Dies spiegelt auch die Definition 3.4 wieder, denn die dort angegebene Matrix ist gerade eine Drehung
um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn. Damit steht n(t) senkrecht auf c ′ (t) und (c ′ (t), n(t)) bildet eine
Orthonormalbasis des R 2 . Im Folgenden sei c : I → R 2 eine ebene, nach Bogenlänge parametrisierte
Kurve. Da c eben nach Bogenlänge parametrisiert ist, gilt ⟨c ′ (t), c ′ (t)⟩ = 1. Wenn wir diese Gleichung
auf beiden Seiten differenzieren, so ergibt dies
〈
c ′′ (t), c ′ (t) 〉 + 〈 c ′ (t), c ′′ (t) 〉 = 2 〈 c ′ (t), c ′′ (t) 〉 = 0.
Demnach steht c ′ (t) senkrecht auf c ′′ (t). Also ist c ′′ (t) ein Vielfaches des Normalenvektors n(t). Es gilt
c ′′ (t) = k(t) ⋅ n(t). (3.1)
22

3.2 Krümmung ebener Kurven
Abbildung 3.3: Das Normalenfeld (der Normalenvektor) einer ebenen Kurve.
Definition 3.5 (Ebene Krümmung) Die Funktion k : I → R 2 , die Gleichung (3.1) genügt, heißt Krümmung
von c.
Wie wir oben schon geschrieben haben, ist die Krümmung ein Maß dafür, wie stark die Kurve von
einer Geraden abweicht. Wenn c eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve ist, so ist c genau dann
eine Gerade, wenn c ′′ (t) = 0, das heißt wenn k(t) ≡= 0. Im Zweidimensionalen ist es möglich, eine
Krümmung positiv oder negativ zu nennen. Wir fragen uns jetzt, wann eine Krümmung positiv und wann
negativ genannt wird. Die Krümmung heißt positiv, wenn sich die Kurve in Richtung des Normalenvektors
krümmt, also in Durchlaufrichtung nach links. Sie ist negativ, wenn sie nach rechts gekrümmt ist.
Mit den Abbildungen 3.4, 3.5 und 3.6 wollen wir die einzelnen auftretenden Fälle genauer untersuchen
und betrachten:
1.Fall: Die Krümmung ist positiv. Es gilt k(t 3 ) > 0.
Abbildung 3.4: Die Krümmung ist positiv.
2.Fall: Die Krümmung ist Null. Es gilt k(t 2 ) = 0.
3.Fall: Die Krümmung ist negativ. Es gilt k(t 1 ) < 0.
Betrachten wir ein Beispiel, das wir ausführlich durchrechnen wollen.
23

3.2 Krümmung ebener Kurven
Abbildung 3.5: Die Krümmung ist Null.
Abbildung 3.6: Die Krümmung ist negativ.
Beispiel: Dazu sei die ebene Kurve c(t) = (r cos(t/r), r sin(t/r)) T
Geschwindigkeitsvektor und der zweiten Ableitung:
c ′ (t) =
(
−r ⋅ 1 r sin(t/r), r ⋅ 1 r cos(t/r) ) T
= (− sin(t/r), cos(t/r)) T
c ′′ (t) = 1 r (− cos(t/r), − sin(t/r)) = 1 r n(t)
gegeben. Es gilt nun für den
Nun gilt doch offensichtlich
Daher ist c ′′ (t) = 1 r n(t). Also ist k(t) = 1 r
also liegt eine konstante Krümmung vor.
c ′ (t) ⋅ c ′′ (t) = 0.
die Krümmung von c. Diese ist unabhängig vom Parameter t,
Es gibt eine weitere Formel, um von einer ebenen Kurve die Krümmung zu berechnen. Wir formulieren
dies in einem Satz.
Satz 3.6 Sei c : I → R 2 eine ebene Kurve. Für die Krümmung k(t) gilt dann
k(t) = det(c′ (t), c ′′ (t))
∥c ′ (t)∥ 3 .
24

3.3 Krümmung räumlicher Kurven
Beweis: Wir rechnen die Formel einfach nach:
k(t) = ⟨n′ 1 (t), n 2(t)⟩
∥c ′ = 1 〈 c ′ 〉
(t)
(t)∥ ∥c ′ (t)∥ ∥c ′ (t)∥ , n 2(t)
= 1 〈 c ′′ (t) ⋅ ∥c ′ (t)∥ − c ′ (t) ⋅ ∥c ′ 〉
(t)∥
c ′ (t)
∥c ′′ (t)∥ 2 , n 2 (t)
〈
1
=
∥c ′ (t)∥ 3 c ′ (t) ⋅ ∥ c ′ (t) ∥ c ′ (t) ⋅ ⟨c ′′ (t), c ′ 〉
(t)⟩ − , n2 (t)
〈( ) ( )〉 〈( ) ( )〉
= 1 3
x ′′ (t) −y ′ (t) 1 c ′′ (t) x ′ (t)
∥c ′ (t)∥ y ′′ ,
(t) x ′ −
(t) ∥c ′ (t)∥ 5 y ′′ ,
(t) y ′ (t)
〈( ) ( )〉
1 x ′′ (t) −y ′ (t)
=
∥c ′ (t)∥ 3 y ′′ ,
(t) x ′ (t)
〈( )
1 −y ′ (t)
( ) 〉
=
∥c ′ (t)∥ 3 x ′ , x ′′ (t), y ′′ (t)
(t)
=
1
∥c ′ (t)∥ 3 det(c′ (t), c ′′ (t)).
3.3 Krümmung räumlicher Kurven
Nun wissen wir als, was wir unter der Krümmung von ebenen Kurven versteht und wie man diese auch
berechnet. In diesem Abschnitt wollen wir uns nun anschauen, wie es bei räumlichen Kurven aussieht
und wo es dort eventuell Probleme mit unserer alten Definition von der Krümmung geben kann. Zunächst
aber wieder die Definition einer räumlichen Kurve, die uns aber schon sehr vertraut ist:
Definition 3.7 Eine parametrisierte Kurve c : I → R 3 heißt parametrisierte Raumkurve.
Natürlich definiert man regulär parametrisierte sowie nach Bogenlänge parametrisierte Kurven analog.
Im Dreidimensionalen stehen wir jetzt aber vor einem Problem mit der Definition der Krümmung, wie
wir sie im obigen Abschnitt definiert haben. Für eine räumliche Kurve ist der Normalenvektor nicht
eindeutig. Wir wollen wir das Normalenfeld definieren? Es lässt sich zwar kein einzelner Normalenvektor
bestimmen, dafür aber eine Normalenebene, wie die Abbildung 3.7 deutlich macht.
Abbildung 3.7: Die Normalenebene anschaulich.
Bei ebenen Kurven hatten wir zwei senkrecht stehende Normalenvektoren. Durch die Orientierung
haben wir diesen dann eindeutig festgelegt. Aber wie machen wir das nun bei Raumkurven? Dort wird
es schwer sein über die Orientierung zu argumentieren. Bei unserer „alten “ Definition von Krümmung
25

3.4 Krümmung im n-Dimensionalen
spielte auch der Normalenvektor eine entscheidene Rolle. Klar ist: Eine Definition muss her. Für ebene
Kurven hatten wir c ′′ (t) = k(t) ⋅ n(t) hergeleitet. Daraus ergbt sich nun ∣k(t)∣ = ∥c ′′ (t)∥. Und damit
hätten wir es. Wenn wir also auf das Vorzeichen verzichten, können wir die Krümmung von räumlichen
Kurven ohne ein Normalenfeld festlegen. Wir definieren:
Definition 3.8 Sei c : I → R 3 eine räumlich, nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Die Funktion
k : I → R mit k(t) = ∥c ′′ (t)∥ heißt Krümmung von c.
Auch hier ist die Krümmung natürlich ein Maß dafür, wie stark die Kurve von einer Geraden abweicht.
Bei räumlichen Kurven macht es nun aber keinen Sinn mehr davon zu sprechen, die Kurve krümme sich
nach links oder rechts. Gut, sind wir jetzt also zu frieden? Noch nicht ganz. Durch unsere neue Definition
haben wir uns nämlich ein Problem eingehandelt. Denn jede ebene Kurve können wir doch auch als
Raumkurve auffassen. Und nun haben wir für ebene Kurven also zwei verschiedene Definitionen. Das ist
jetzt so ähnlich, wie in Kapitel 2, in dem wir den Längenbegriff mit Hilfer zweier Definitionen eingeführt
haben. Wie haben wir uns dort aus der Affäre gezogen? Klar, wir haben gezeigt, dass beide Definitionen
zu einander äquivalent sind. Dies wollen wir jetzt auch machen:
Sei dazu ˜c : I → R 2 eine nach Bogenlänge parametrisierte ebene Kurve mit der Krümmung ˜k : I → R,
und sei c = (˜c, 0) : I → R 3 dieselbe parametrisierte Kurve, nur aufgefasst als Raumkurve mit der
Krümmung k : I → R. Es gilt nun
∣k(t)∣ = ∥ ∥c ′′ (t) ∥ ∥ = ∥ ∥(˜c ′′ (t), 0) ∥ ∥ = ∥ ∥˜c ′′ (t) ∥ ∥ = ∣˜k(t)∣.
Puh... noch einmal gut gegangen. Zum Abschluss des Abschnitts betrachten wir noch ein Beispiel.
Beispiel: Wir betrachten die Helix c : R → R 2 , die wie folgt parametrisiert ist:
c(t) =
(
r cos(t), r sin(t), ht )
2π
Hierbei ist h die sogenannte Ganghöhe. Die Krümmung im R 3 berechnet sich sehr leicht durch k(t) =
∥c ′′ (t)∥. Wir benötigen also die Norm von c ′′ (t). Dazu berechnen wir zunächst den Geschwindigkeitsvektor
zu
c ′ (t) =
(
−r sin(t), r cos(t), h )
.
2π
Damit ergibt sich
Also ist
c ′′ (t) = (−r cos(t), −r sin(t), 0) .
∥
∥c ′′ (t) ∥ √
= r 2 cos 2 (t) + r 2 sin 2 (t) = r.
Die Krümmung beträgt daher r.
3.4 Krümmung im n-Dimensionalen
Nun haben wir also die Krümmung im R 2 und im R 3 eingeführt. Kann man dies aber auf beliebige Dimensionen
verallgemeinern? Die zentrale dieses Abschnitts wird nun zeigen, wie die Krümmung im R n
denn definiert ist. Um das Problem R n lösen zu können, definiert man ein so genanntes Krümmungsvek-
26

3.4 Krümmung im n-Dimensionalen
torfeld.
Definition 3.9 (Krümmungsvektorfeld) Sei c : I → R n eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Das
Krümmungsvektorfeld von c ist die Abbildung
˜k : I → R n × R n
mit (c(t), c ′′ (t)).
Beispiel: Wir betrachten noch einmal die Helix mit Ganghöhe h und dem Radius r > 0. Zur Erinnerung.
Sie ist gegeben durch
c : R → R 3 , c(t) =
(
r cos(t), r sin(t), ht )
.
2π
In unserer Definition des Krümmungsvektorfelds haben wir gefordert, dass c nach Bogenlänge parametrisiert
ist. Dies müssen wir natürlich erst einmal sicher stellen. Es gilt
und folglich
c ′ (t) =
(
−r sin(t), r cos(t), ht )
2π
∥ c ′ (t) ∥ √
√
= r 2 sin 2 (t) + r 2 cos 2 (t) + h2
4π 2 = r 2 + h2
4π 2 .
Damit c nach Bogenlänge parametrisiert ist, soll also r 2 + h2
4π 2
anwenden und damit lautet unser Krümmungsvektorfeld
⎛ ⎛ ⎞⎞
⎛⎛
⎞
−r cos(t) −r cos(t)
˜k(t) = (c(t), c ′′ ⎜ ⎜ ⎟⎟
⎜⎜
(t)) = ⎝c(t), ⎝ r sin(t) ⎠⎠ = ⎝⎝
r sin(t)
0
= 1 gelten. Nun können wir die Definition
0
⎟
⎠ ,
r
r 2 + h2
4π 2
⎛ ⎞⎞
cos(t)
⎜ ⎟⎟
⎝sin(t)
⎠⎠ .
Die Frage, die sich nun stellt, ist doch aber: Was machen wir, wenn unsere Kurve nicht nach Bogenlänge
parametrisiert ist? Klar, wir haben gelernt, dass man jede regulär parametrisierte Kurve nach Bogenlänge
umparametrisieren kann. Wir haben aber auch gesehen, dass es nicht immer so einfach ist, entsprechende
Umparametrisierungen zu finden. Aber genau diesen Satz wollen wir nun ausnutzen, um auch das Krümmungsvektorfeld
für regulär, nicht für nach Bogenlänge parametrisierte Kurven zu definieren. Es sei also
c : I → R n eine regulär parametrisierte Kurve. I, ˜I offene Intervalle und φ : ˜I → I ein Diffeomorphismus,
so dass ˜c := c ∘ φ nach Bogenlänge parametrisiert ist. Ohne Einschränkung nehmen wir weiter an,
dass φ(s) > 0 ∀s ∈ ˜I. Wir berechnen nun
d
ds ˜c(s) = c′ (φ(s)) ⋅ φ ′ (s) (3.2)
0
und dann auch
d 2
ds 2 = c′′ (φ(s)) ⋅ (φ(s)) 2 + c ′ (φ(s)) ⋅ φ ′′ (s). (3.3)
27

3.5 Zusammenfassung
Aus ∥ d
ds ˜c(s)∥ ∥ = 1 und Gleichung (3.2) folgt φ ′ 1
(s) =
∥c ′ (φ(s))∥
und daraus wiederum
φ ′′ (s) = − ⟨c′ (φ(s)), c ′′ (φ(s))⟩ ⋅ φ(s)
∥c ′ (φ(s))∥ 3
= − ⟨c′ (φ(s)), c ′′ (φ(s))⟩
∥c ′ (φ(s))∥ 4
Für das Krümmungsvektorfeld von ˜c ergibt sich daher mit Gleichung (3.3) und mit t := φ(s) die Gleichung
) (
˜k
(˜c(s), d2
ds 2 ˜c(s) 1
= c(t),
∥c ′ (t)∥ 2 c′′ (t) − ⟨c′ (t), c ′′ )
(t)⟩
∥c ′ (t)∥ 4 ⋅ c ′ (t)
Dies motiviert uns nun die Definition der Krümmung zu verallgemeinern:
Definition 3.10 Sei c : I → R n eine regulär parametrisierte Kurve. Das Krümmungsvektorfeld von c ist
die Abbildung
˜k : I → R n × R n ,
Zum Abschluss noch ein Beispiel.
) (
mit
(˜c(s), ˜k
d2
ds 2 ˜c(s) 1
= c(t),
∥c ′ (t)∥ 2 c′′ (t) − ⟨c′ (t), c ′′ )
(t)⟩
∥c ′ (t)∥ 4 ⋅ c ′ (t) .
Beispiel: Wir wollen das Krümmungsvektorfeld der logarithmischen Spirale
c : R → R 2 , c(t) = μe λt (cos(t), sin(t)), μ < 0 < λ
berechnen. Es gilt
(
)
c ′ (t) = μe λt λ − cos(t) − sin(t)
λ sin(t) + cos(t)
(
)
und c ′′ (t) = μe λt (λ 2 − 1) cos(t) − 2λ sin(t)
2λ cos(t) + (λ 2 .
− 1) sin(t)
Daraus folgt nun ∥c ′ (t)∥ = μ 2 (λ 2 + 1)e 2λt und ⟨c ′ (t), c ′′ (t)⟩ = μ 2 λ(λ 2 + 1)e 2λt . Also gilt
( )
(
))
˜k(t) =
(μe λt cos(t) e −λt − cos(t) − λ sin(t)
,
sin(t) μ(λ 2 .
+ 1) − sin(t) + λ cos(t)
Wir bemerken: Das Vektorfeld kann auch über die Formel
(
1
˜k(t) =
∥c ′ (t)∥ 2 c ′ (t), − ⟨c′ (t), c ′′ )
(t)⟩
∥c ′ (t)∥ 2 c ′ (t)
3.5 Zusammenfassung
Definition 3.11 (Normalenfeld) Sei c : I → R 2 eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Das Normalenfeld
ist definiert als
( )
0 −1
n(t) = ⋅ c ′ (t).
1 0
Definition 3.12 (Krümmung im R 2 ) Die Funktion k : I → R c ′′ (t) = k(t) ⋅ n(t) heißt Krümmung von
c.
Definition 3.13 (Krümmung im R 3 ) Sei c : I → R 3 eine räumliche, nach Bogenlänge parametrisierte
28

3.5 Zusammenfassung
Kurve. Die Funktion k : I → R mit k(t) = ∥c ′′ (t)∥ heißt Krümmung von c.
Definition 3.14 (Krümmung allgemein) Sei c : I → R n eine regulär parametrisierte Kurve. Das Krümmungsvektorfeld
von c ist die Abbildung
˜k : I → R n × R n ,
) (
mit
(˜c(s), ˜k
d2
ds 2 ˜c(s) 1
= c(t),
∥c ′ (t)∥ 2 c′′ (t) − ⟨c′ (t), c ′′ )
(t)⟩
∥c ′ (t)∥ 4 ⋅ c ′ (t) .
Wir bemerken: Das Vektorfeld kann auch über die Formel
(
1
˜k(t) =
∥c ′ (t)∥ 2 c ′ (t), − ⟨c′ (t), c ′′ )
(t)⟩
∥c ′ (t)∥ 2 c ′ (t)
29

Kapitel 4
Der Satz von Fenchel
4.1 Einleitung
Um was soll es in diesem Kapitel gehen?
Das Kapitel wird sich ausschließlich mit dem Satz von Fenchel auseinander setzen, der angibt, wie stark
sich eine Raumkurve krümmen muss, um sich komplett zu schließen bzw., wie man einer Kurve ansehen
kann, ob sie in einer Ebene liegt oder nicht. Ziel ist es, diesen Satz zu beweisen.
Um den Beweis zu verstehen, wird es zunächst einen kleinen Exkurs in die sphärische Geometrie
geben, um einige Begrifflichkeiten bereitzustellen, die für das Verständnis der Definitionen und Lemmata
erforderlich sind. Danach werden wir zwei Lemmata beweisen, mit denen der Beweis des Satzes von
Fenchel sehr leicht ist. Abschließen werden wir selbstverständlich mit dem Beweis des Fenchel-Satz.
4.2 Exkurs in die sphärische Geometrie
Die sphärische Geometrie beschäfitigt sich mit der Geometrie der Kugel. Sie unterscheidet sich in einigen
Punkten stark von der ebenen euklidischen Geometrie. Sie erfüllt das Parallelenaxiom nicht, da sich zwei
Großkreise, das Analogon der Geraden auf einer Kugel, stets schneiden (siehe auch Abschnitt 4.2.1). Viele
aus der euklidischen Geometrie bekannten Sätze, sowohl der Satz über die Winkelsumme im Dreieck, als
auch der Satz des Pythagoras, haben auf einer Kugel keine Gültigkeit mehr.
Abbildung 4.1: Der sphärische Raum.
30

4.2 Exkurs in die sphärische Geometrie
4.2.1 Großkreise - Die „Geraden“ auf der Kugel
Als Großkreis wird in der sphärischen Geometrie jeder Kreis auf der Kugeloberfläche bezeichnet, dessen
euklidischer Mittelpunkt gleichzeitig der Mittelpunkt der Kugel ist. Man erhält also einen Großkreis,
indem man die Kugel mit einer beliebigen Ebene schneidet, die den Kugelmittelpunkt enthält. So ist
beispielsweise der Äquator auf der Erdkugel ein Großkreis. Er unterteilt die Kugeloberfläche in zwei
gleich große Teile.
Großkreise werden in der sphärischen Geometrie als Geraden bezeichnet. Hier zeigt sich ein Unterschied
zwischen sphärischer und euklidischer Geometrie: Laut dem Parallelenaxiom der euklidischen
Geometrie schneiden sich zwei Geraden nicht zwangsläufig, zum Beispiel dann nicht, wenn sie parallel
sind. Zwei Geraden auf der Kugeloberfläche, also Großkreise, schneiden sich jedoch immer, nämlich in
zwei gegenüberliegenden Punkten der Kugel.
4.2.2 Großkreisbögen - Die „Strecken “ auf der Kugel
Sucht man auf der Kugeloberfläche die kürzeste Verbindung zwischen zwei beliebigen Punkten A und
B, so erkennt man, dass diese den Teil eines Großkreises darstellt. Klappt man nun alle Schnittkreise
in die Großkreisebene, so erkennt man, dass der Großkreisbogen b die kürzeste Verbindung zwischen
den Punkten A und B darstellt und direkt auf der Kugeloberfläche verläuft, während die Bögen der
kleineren Kreise b 1 und b 2 aus der Kugeloberfläche „herausragen “ und somit länger sein müssen (siehe
auch Abbildung 4.2).
Abbildung 4.2: Die Großkreisbögen
Daher ist in der sphärischen Geometrie jede Strecke zwischen zwei beliebigen Punkten ein Teil eines
Großkreisbogens. Wenn man beispielsweise auf einem Globus einen Gummifaden zwischen zwei Punkten
spannt, dann verläuft dieser ebenfalls entlang eines Großkreises. Außerdem erklärt dies, warum Großkreise
in der sphärischen Geometrie als Geraden bezeichnet werden: Auch in der euklidischen Geometrie liegt
die kürzeste Strecke zwischen zwei Punkten auf der Geraden, die durch sie verläuft.
31

4.3 Der Satz von Fenchel
Abbildung 4.3: Der sphärischer Raum mit zwei Punkten.
4.2.3 Ein paar Begrifflichkeiten
Nun einige wichtige Begriffe, die für das Verständnis des Vortrages nützlich sein können.
Als Halbkugel bzw. Hemisphäre bezeichnet man allgemein die Hälfte einer Kugelschale oder eines Kugelkörpers.
Unter einer offenen bzw. abgeschlossenen Hemisphäre versteht man anschaulich die Kappen ohne
bzw. mit dem Äquator.
Unter einer Sphäre versteht man die Verallgemeinerung der Kugeloberfläche auf beliebig viele Dimensionen.
Definitionsgemäß besteht die Sphäre einer Kugel nur aus der verallgemeinerten Oberfläche.
Die n-dimensionale Sphäre (kurz n-Sphäre) ist die Oberfläche einer (n + 1)-dimensionalen Kugel. Sie
wird mit S n bezeichnet.
Die 1-Sphäre ist der Einheitskreis auf der Ebene.
Eine 2-Sphäre kann man sich zwar im 3-dimensionalen Raum vorstellen, ist jedoch (lokal) durch 2-
dimensionale Karten beschreibbar. Die 2-Sphäre ist einfach die gewöhnliche Kugeloberfläche im „Raum“.
4.3 Der Satz von Fenchel
Nun zum eigentlichen Satz. Zuvor ein paar Definitionen und Sätze.
Definition 4.1 (Totalkrümmung) Sei c : [a, b] −→ R 3 eine reguläre nach Bogenlänge parametrisierte
Raumkurve. Dann ist die Totalkrümmung von c definiert als
∫ L
k(c) ≥ k(s) ds
0
Hierbei ist L ≥ L[c] die Länge der Kurve von c.
Wenn wir den Begriff der sphärischen Kurve kennen, dann kann man sagen, dass die Totalkrümmung
nichts anderes als die Gesamtlänge einer sphärischen Kurve ist.
Ein paar Bemerkungen:
32

4.3 Der Satz von Fenchel
Ist c nicht nach der Bogenlänge parametrisiert, so gilt
k(c) ≥
∫ b
a
k(t)∥ ˙c(t)∥ dt.
Das kann man leicht begründen: Man hat die Umparametrisierung
s ≥ ψ(t) ≥
∫ t
0
∥ ˙c(t)∥ dt mit ds
dt ≥ ∥ ˙c(t)∥. Hierbei liefert t ≥ ψ−1 (s) , c ≥ c ⋅ ψ −1 die Parametrisierung
nach der Bogenlänge.
Für die Kurve gilt die anschauliche Vorstellung zur Totalkrümmung:
∫
k ist der Winkel φ, um den der Tangentenvektor v = c ′ von einer Ausgangsposition aus gedreht
wird. Die Zahl k(c∣ [t0 ,t 1 ]) ≥ ∫ t 1
t 0
k(t) dt ≥ φ(t 1 ) − φ(t 0 ) nennt man die Totalkrümmung der
Kurve c∣ [t0 ,t 1 ]. Sie ist der Gesamtwinkel, den der Einheitsvektor c ′ für t 0 ≤ t ≤ t 1 durchmisst.
Für eine geschlossene Raumkurve ist ihre Parametrisierung nach der Bogenlänge periodisch und
eindeutig bis auf die Parametertransformationen der Form
t → ±t+t 0 . Derartige Parametertransformationen ändern nichts an dem Wert der Totalkrümmung.
Wir können also auch von der Totalkrümmung einer geschlossenen Raumkurve sprechen, nicht nur
von der Totalkrümmung parametrisierter Kurven.
Für ebene Kurven wurde schon gezeigt:
c einfach geschlossen
⇒ ∫ L
0 k(s) ds = ±2π (Umlaufsatz von Hopf1 ) ⇒ ∫ L
0
∣k(s)∣ ds ≥
}{{}
Δ-Ungleichung für
Integrale
∣ ∫ L
0
k(s) ds∣ = 2π
(Diese Abschätzung gilt auch für beliebige geschlossene reguläre Kurven.) Gleichheit gilt, falls c konvex ist,
denn für konvexe Kurven ändert sich das Vorzeichen der Krümmung nicht.
Satz 4.2 (Der Satz von Fenchel:) Sei c : [a, b] −→ R 3 eine nach Bogenlänge parametrisierte geschlossene
Kurve der Länge L. Dann gilt für die Totalkrümmung:
k(c) ≥
∫ L
0
k(s) ds ≥ 2π
Gleichheit gilt genau dann, wenn c eine einfach geschlossene konvexe ebene Kurve ist.
Anmerkung: Wenn c nicht nach der Bogenlänge parametrisiert ist, gilt die Aussage entsprechend für
k(c) ≥
∫ b
a
k(t)∥ ˙c(t)∥ dt ≥ 2π.
Den Satz können wir so interpretieren: Der Satz von Fenchel sagt also etwas über den Zusammenhang
zwischen der Totalkrümmung und dem Kurvenverlauf einer Kurve aus, insbesondere gibt er an, wie man
der Totalkrümmung ansehen kann, dass die Kurve in einer Ebene liegt. Weiterhin sagt der Satz, wie stark
sich eine Raumkurve mindestens krümmen muss, um sich zu schließen. Damit sich eine Kurve schließt,
1 Der Umlaufsatz von Hopf besagt, dass eine einfach geschlossene Kurve die Umlaufzahl ±1 besitzt, wobei für die Umlaufzahl
n c = 1
2π
∫ L
0 k(t) dt 33

4.3 Der Satz von Fenchel
muss ihre Totalkrümmung also mindestens 2π betragen.
L∫
Der Satz von Fenchel stellt die Forderung k(c) ≥ k(s)ds ≥ 2π nicht nur an einfach geschlossene
Kurven (wie das im Umlaufsatz von Hopf der Fall ist), sondern verallgemeinert die Aussage noch etwas
mehr.
Um den Satz von Fenchel leicht beweisen zu können, benötigen wir eine Definition und zwei Lemmata.
Definition 4.3 (Sphärischen Kurve:) Sei c : [a, b] −→ R 3 eine reguläre Raumkurve. Dann definiert man
die sphärische Kurve (auch tangentiale Indikatrix genannt) wie folgt:
γ c : [a, b] → S 2 ⊂ R 3
γ c (t) ≥
0
˙c(t)
∥ ˙c(t)∥
Wir bemerken: Man kann die Indikatrix auch allgemeiner für R n definieren:
Die Indikatrix c ind einer regulär parametrisierten Kurve c : I −→ R n ist die Abbildung
c ind : I −→ S n−1 ⊂ R n , c ind (t) =
˙c(t)
∥ ˙c(t)∥ .
Kurven auf der Kugeloberfläche heißen also sphärische Kurven. Wichtige sphärische Kurven sind Großkreise
oder Kleinkreise. Die Kurve γ c ist im Allgemeinen weder regulär noch nach Bogenlänge parametrisiert.
Die Frenet-Kurven im Raum sind also genau die regulären Kurven c : I −→ R 3 mit regulärer
Indikatrix γ c . Die totale Absolutkrümmung (Totalkrümmung) ∫ L
0
k(s) ds ist also nichts anderes als die
Gesammtlänge von γ c als sphärische Kurve.
Die Totalkrümmung ist jedoch definiert als k(c) = ∫ L
L∫
0 k(s) ds = ∣c ′′ ∣ = L[c ′ ]. Der Satz von Fenchel
fragt sich danach also, wieso die Länge des Tangentialbildes, d. h. der Kurve v = c ′ : I → S 2 , nicht
kleiner als 2π sein kann.
Lemma 4.4 Ist c : I −→ R 3 geschlossen (periodisch, regulär parametrisiert), dann liegt γ c in keiner
offenen Hemisphäre.
γ c liegt in einer abgeschlossenen Hemisphäre genau dann, wenn c in einer Ebene (allgemeiner: affine
Hyperebene im R n ) liegt. In diesem Fall liegt γ c in einem Großkreis.
Beweis: Da sich die Spur der Indikatrix nicht ändert, wenn man die Kurve c umparametrisiert, können
wir Œ annehmen, dass c nach der Bogenlänge parametrisiert ist mit der Periode L.
0
“=⇒ “:
Angenommen γ c liegt in einer abgeschlossenen Hemisphäre. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit
nehmen wir an, dass γ c in der nördlichen Hemisphäre enhalten ist. Ansonsten führen wir eine geeignete
Rotation durch. Weiterhin sei c(t) = (x(t), y(t), z(t)) und
γ c (t) = (γc 1 (t), γc 2 (t), γc 3 (t)).
34

4.3 Der Satz von Fenchel
Da γ c in der nördlichen Hemisphäre liegt, gilt
γ 3 c (t) ≥ ˙z(t) ≥ 0 ∀t ∈ I
Dann ist z(L) − z(0) = ∫ L
0 ˙z(t) dt = 0, da c geschlossen ist. Denn dann gilt c(L) = c(0) und insbesondere
z(L) = z(0). Da nun aber ˙z(t) ≥ 0 , ∀ ∈ I, impliziert dies ˙z(t) = 0 , ∀t ∈ I. Deswegen kann die
Indikatrix nicht in einer offenen Hemisphäre enthalten sein (siehe auch unten stehende Bemerkung). Da
nun ˙z(t) = 0 , ∀t ∈ I ist z(t) konstant. Folglich liegt c in einer Ebene. Eine kleine Bemerkung:
L∫
γ c liegt in der offenen Hemisphäre genau dann wenn γc 3 (t) > 0 , ∀t ∈ I. Daraus ergibt sich ˙z(t) dt > 0.
Dies ist ebenfalls ein Widerspruch zu unserem Ergebnis.
0
“⇐= “:
Nun liege c in einer Ebene. Dann existiert ein v ∈ S 2 mit < c(s) − c(0) , v >≥ 0 ∀t. Daraus ergibt sich,
Abbildung 4.4: Der Fall, wenn c in einer Ebene liegt.
dass γ c in einem Großkreis, nämlich in S 2 ∩ v ⊥ , liegt. Das wiederum bedeutet aber gerade, dass γ c auf
dem Rand einer offenen Hemisphäre liegt. Damit ist alles gezeigt.
Lemma 4.5 Sei γ eine geschlossene Kurve in S 2 . Dann gilt:
a) L[γ] < 2π ⇒ γ liegt in einer offenen Hemisphäre.
b) L[γ] = 2π ⇒ γ liegt in einer abgeschlossenen Hemisphäre.
Beweis: Wir wählen Punkte p, q ∈ γ mit L[γ 1 ] ≥ L[γ 2 ] ≥ L 2 , wobei γ 1 das Kurvensegment von p nach
q und γ 2 das Kurvensegment von q nach p ist. (Die Kurvensegmente γ 1 = pq und γ 2 = qp haben also
die gleiche Länge L 2 .) Es gilt also γ ≥ γ 1 + γ 2 .
Durch bzw. nach geeigneter Drehung kann man Πfolgendes annehmen:
p, q und der Nordpol liegen auf einem Großkreis
der Abstand von p nach N (auf der Sphäre) ist gleich dem Abstand von q nach N, d. h. eine 180
Grad -Drehung überführt p in q und umgekehrt.
35

4.3 Der Satz von Fenchel
Abbildung 4.5: Die geschlossene Kurve aus γ 1 und γ 2 .
Abbildung 4.6: p, q und N auf einem Großkreis.
36

4.3 Der Satz von Fenchel
Wir können weiterhin annehmen, dass γ den Äquator schneidet. Denn würde γ den Äquator nicht
schneiden, so würde γ schon in einer offenen Hemisphäre liegen und wir hätten nichts zu zeigen.
Anderfalls schneidet entweder γ 1 oder γ 2 den Äquator.
Œ(der andere Fall behandelt sich analog) soll γ 1 den Äquator in Punkt r schneidet.
Abbildung 4.7: γ 1 schneidet den Äquator in r.
Man ersätzt nun γ 2 durch die um 180 Grad um die z-Achse gedrehte Kurve (Punktspiegelung). Genauer:
Sei φ : S 2 → S 2 die Punktspiegelung am Nordpol. Da p, q und N auf demselben Großkreis liegen und
p, q denselben Abstand zum Nordpol besitzen, ist φ(p) = q , φ(q) = p. Durch eine Punktspiegelung der
Kurve γ 1 erhalten wir eine Kurve γ 2 ′ .
Die neue Kurve γ ′ ≥ γ 1 + γ 2 ist wieder geschlossen und hat die Länge L. Weiter gilt:
γ ′ 2 hat die Länge L 2
(denn Drehungen erhalten Längen)
γ ′ schneidet den Äquator in diametral gegenüberliegenden Punkten r und r ′ . D. h. r und r ′ gehen
durch eine 180 Grad-Drehung auseinander hervor
Länge rr ′ ≥ der Länge r ′ r, wobei rr ′ ≥ Kurvenstück von r nach r ′ im Durchlaufsinn von γ
Da nun Länge pr ≥ Länge pr ′ ≥ folgt:
Länge rr ′ ≥ Länge pq − Länge pr + Länge qr ′ ≥ Länge pq ≥ L 2
37

4.4 Abschluss und Ausblick
Wir wissen: Die Großkreise geben die kürzeste Verbindung von Punkten auf der Sphäre an. Der Abstand
ist gegeben durch die Länge auf den verbindenden Großkreisen.
Daraus ergibt sich:
Der Abstand von r und r ′ auf der Sphäre ist π
L
2 ≥ π, da die Länge von rr′ nicht kleiner sein kann als π, denn der Großkreis ist die Verbindungskurve
kleinster Länge
⇒ L ≥ 2π
Gleichheit gilt, falls r, r ′ , q, p auf einem Großkreis liegen.
In diesem Fall ist γ der Rand einer Hemisphäre.
Wir haben also gezeigt:
L[γ] ≥ 2π oder γ liegt in einer offenen Hemisphäre.
L[γ] = 2π ⇒ γ liegt in einer abgeschlossenen Hemisphäre.
⇒ γ ist ein Großkreis (= Rand einer Hemisphäre)
Nun zum Beweis des Satzes von Fenchel:
Beweis des Fenchel-Satzes: Nach Lemma 4.4 kann γ c nicht in einer offenen Hemisphäre liegen und nach
Lemma 4.5 ist ihre Länge L nach unten durch 2π beschränkt.
Nun gilt aber:
2π ≤ L ≥
∫ L
∥ ˙γ c (t)∥ dt
γ c(t)= ˙c(t)
{}}{
=
∫ L
∥¨c(t)∥ dt ≥
∫ L
k(t) dt
0
0
0
Gleichheit gilt genau dann, wenn γ c ein einfach durchlaufender Großkreis auf S 2 ist. Damit ist c eine
einfach geschlossene Kurve.
Damit ist auch der Satz von Fenchel bewiesen.
4.4 Abschluss und Ausblick
Der Satz von Fenchel besitzt eine Verschärfung von Fary und Milnor, welche besagt:
Wenn eine geschlossene Raumkurve verknotet ist, dann ist ihre Totalkrümmung sogar größer als 4π.
Leider können wir hier nicht mehr darauf eingehen, da es den Rahmen sprengen würde. Wir verweisen
auf die Literatur.
38

Kapitel 5
Jordan-Kurven und Mannigfaltigkeiten
In diesem Paragraphen wollen wir einen kleinen Abstecher zu besonderen Kurven machen, nämlich zu
den Jordan-Kurven. Dies sind Kurven, die sich nicht selbst schneiden. Des Weiteren werden wir einen
kleinen Exkurs in die Mannigfaltigkeiten vornehmen, denn dieser Begriff umfasst sowohl Kurven als
auch Flächen und ermöglicht es aber zugleich, die beiden Konzepte im Wesentlichen zu verallgemeinern.
5.1 Jordan-Kurven
Wie oben erwähnt, bezeichnet man Kurven, die sich selbst nicht schneiden, als Jordan-Kurven. Im Allgemeinen
kann sich eine Kurve selbst schneiden. Das bedeutet, es gibt für eine Parametrisierung c(t)
Parameterwerte t 1 ∕= t 2 , für die c(t 1 ) = c(t 2 ) ist. Während im Raum ein solcher Schnittpunkt durch
eine beliebige kleine Verformung der Kurve entfernt werden kann, ist das in der Ebene nicht möglich. Für
viele Zweckesind aber gerade Kurven interessant, die sich nicht auf derartige Weise selbst schneiden, und
dieser verdinen daher einen eignenen Namen.
Definition 5.1 (Jordan-Kurve) Eine Kurve c(t) heißt Jordan-Kurve, wenn für jede Parametrisierung c(t)
mit c ′ (t) ∕= 0, t ∈ [a, b] ⊂ R gibt, so dass für alle t k ∈ [a, b] aus t 1 ∕= t 2 immer c(t 1 ) = c(t 2 ) folgt. Als
einzige Ausnahme wird c(a) = c(b) zu gelassen.
Jordan-Kurven dürfen demnach geschlossen sein. Abgesehen davon darf es aber keine weiteren „Doppelpunkte
“geben. Jordan- und allgemeine Kurven sind einander in den folgenden Abbildungen 5.1 und
5.2 dargestellt.
Abbildung 5.1: Beispiele für Jordan-Kurven.
Abbildung 5.2: Drei Kurven, die keine Jordan-Kurven sind.
39

5.1 Jordan-Kurven
Dass lediglich die Existenz einer Parametrisierung mit den gewünschten Eigenschaften gefordert wird,
liegt in unserer Definition einer Kurve begründet. So parametrisiert
c(t) = (cos(t), sin(t)), t ∈ [0, 2π]
denselben Kreis wie
bzw.
c(t) = (cos(t), sin(t)), t ∈ [0, 4π]
c(t) = (cos(2t), sin(2t)), t ∈ [0, 2π].
Dies haben wir schon in den Kapiteln 1 und 2 gesehen. Der ersten Parametrisierung sieht man die Jordan-
Eigenschaft unmittelbar an, der zweiten nicht. Dies kommt daher, dass zu jedem Punkt zu mindestens zwei
Parameterwerte korrespondieren. Durch eine geeignete Umparametrisierung kann das geändert werden,
ohne Form oder Orientierung der Kurve zu verändern.
Beispiel:
Die Kurve, die durch c(t) = (cos 2 (t), cos(t) sin(t)), t ∈ [0, 2π] parametrisiert wird,
ist keine Jordan-Kurve, da t 1 = π 2 und t 2 = 3π 2
beide dem Punkt (0, 0) entsprechen. Auch beliebige
Umparametrisierungen können diese „Doppelpunkteigenschaft “nicht entfernen.
Die Schraubenlinie c(t) = (a cos(t), a sin(t), bt), t ∈ R mit a > 0 und b > 0 ist eine Jordan-
Kurve. Wegen c 3 (t) = bt können zwei Punkte der Kurve für unterschiedliche Werte des Parameters
nie übereinstimmen.
Wir betrachten nun c(t) = (2 sin(cos(t)), t 3 , t 2 cosh(t)), t ∈ [0, 2π]. Dies Kurve hat zwar eine
komplizierte Gestalt, wir können jedoch sofort erkennen, dass es sich um eine Jordan-Kurve handeln
muss. Da die Funktion c 2 : R → R, c 2 (t) := t 3 streng monoton wachsend ist, folgt aus
t 1 ∕= t 2 stets c 2 (t 1 ) ∕= c 2 (t 2 ).
In den letzten beiden Beispielen finden wir bereits ein nützliches Kriterium, um Jordan-Kurven zu
erkennen: Ist zumindestens eine Komponentenfunktion eine streng monoton wachsende Funktion des
Parameters, so hat man eine Jordan-Kurve vorliegen, da es so keine „Doppelpunkte “geben kann. Strenge
Monotonie in einer Komponente ist hinreichend für das Vorliegen einer Jordan-Kurve, aber keineswegs
notwendig, wie man etwa am Beispiel des einfach durchlaufenden Kreises sieht.
Satz 5.2 Geschlossene Jordan-Kurven in der Ebene haben ein Inneres und Äußeres.
Beweis: Wir wollen keinen richtigen Beweis geben, sondern versuchen Äußeres und Inneres zu definieren.
Auf dem ersten Blick scheint es nicht schwierig zu sein, für eine geschlossene Kurve im R 2 ein
Inneres und ein Äußeres zu definieren. Tatsächlich treten aber einige konzeptionelle Schwierigkeiten auf.
Eins ist in der folgenden Abbildung 5.3 dargestellt. Man kann sich im schattierten „Inneren “der Kurve
bewegen und dennoch die Kurve selbst (auch mehrfach) überqueren. Noch schlimmer im Fall der obigen
Abbildung 5.3. Eine kleine Verformung der Kurve scheint aus dem großen Bereich des „Äußeren “einen
Teil des „Inneren “zu machen. Das, was „außen “oder „innen “ist, kann anscheinend auf unstetige Weise
von kleinen Änderungen des Kurvenverlaufs abhängen. All deise Probleme legen naje, dass die Definition
von Äußerem und Innerem einer Kurve nicht einfach ist und in bestimmten Situationen der naiven
Anschauung widerspricht. So könnte man als Inneres der Kurve aus Abbildung 5.3 und 5.4 stattdessen
40

5.1 Jordan-Kurven
Abbildung 5.3: Anschaulich würde man as gesamte orange schattierte Gebiet als Inneres der Kurve bezeichnen.
Allerdings kann man dann, wie rechts dargestellt, die Kurve überqueren und dennoch immer im
Inneren bleiben.
die in Abbildung 5.5 schattierten Bereiche ansehen. Alle Probleme in den vorangegangenen Beispiele
Abbildung 5.4: Nennt man das blau schattierte Gebiet das Innere der Kurve, so wird ein großer Bereich durch eine
kleine Verformung der Kurve von „außen “zu „innen “.
Abbildung 5.5: Als Inneres der Kurve aus den Abbildungen 5.3 und 5.4 könnte etwa nur das hier schattierte Gebiet
zugelassen werden.
hatten aber ihren Ursprung darin, dass es Punkte gab, in denen sich die Kurven selbst schnitten. Für
Jordan-Kurven gilt das folgende wichtige Resultat.
Satz 5.3 (Jordanscher Kurvensatz) Jede geschlossene Jordan-Kurve C zerlegt R 2 ∖ C ∗ in zwei disjunkte
einfach zusammenhängende offene Teilmengen, von denen genau eine beschränkt ist.
C ∗ bezeichnet dabei das Bild der Kurve. Eine geschlossene Jordan-Kurve hat demnach, wie es die
Anschauung nahelegt, tatsächlich ein Inneres und ein Äußeres. Diese Feststellung ist allerdings schwierig
zu beweisen und wir verzichten an dieser Stelle darauf.
41

5.2 Mannigfaltigkeiten
5.2 Mannigfaltigkeiten
Der Begriff der Mannigfaltigkeit umfasst sowohl Kurven als auch Flächen, ermöglicht es aber zugleich,
die beiden Konzepte wesentlich zu verallgemeinern. Dabei fordert man im Wesentlichen nur die lokale
„Ähnlichkeit “zum R n . Wir beginnen mit einem „Ausgangsraum “X, den wir so allgemein wie möglich
halten. Die „Ähnlichkeit “zum R n präsizieren wir, indem wir zunächst den Begriff der Karte einführen.
Als n-dimensiononale Karte (oder lokales Koordinatensystem) auf einem Raum X definieren wir einen
Homöomorphismus h : U → U ′ ⊂ R n , wobei U ⊂ X ist, und sowohl U als auch U ′ offen sind. Wenn
jeder Punkt von X einem möglichen Kartengebiet U angehört, so heißt X lokal euklidisch. Meist wird
man mehrere Karten brauchen, um ganz X erfassen zu können. Diese Karten sollen untereinander verträglich
sein. Noch besser: Der Übergang zwischen zwei Karten soll sogar diffeomorph sein, das heißt
differenzierbar. Eine ganze Sammlung von entsprechend gut verträglichen Karten, die zusammen ganz X
Abbildung 5.6: Der Begriff der Karte einer Mannigfaltigkeit.
erfassen, nennt man einen Atlas. Der maximale Atlas, der alle Karten, zwischen denen ein diffeomorpher
Wechsel überhaupt möglich ist, enthält, definiert nun eine Mannigfaltigkeit, vorausgesetzt der ursprüngliche
Raum X erfüllt einige recht allgemeine Eigenschaften. Der Mannigfaltigkeitsbegriff schließt, wie ja
auch gewünscht, Kurven und Flächen mit ein. Dort geht man bei der Definition jedoch meist den Weg
in die andere Richtung. Man wählt sich einen günstigen Parameterbereich U ′ ⊂ R n und parametrisiert
dann die Fläche mittels x(u, v) mit u, v ∈ U ′ . Dieses x(u, v) ist natürlich in obiger Notation gerade
die Umkehrfunktion h −1 von h und U ′ wird wenn möglich so gewählt, dass die ganze Fläche damit beschrieben
werden kann. Man braucht sich in diesem Fall um Kartenübergänge oder gar Atlanten keinerlei
Gedanken machen. Allerdings lässt sich bereits die Kugel nicht mehr mit einer Karte beschreiben. In jeder
flachen Weltkarte gibt es zumindestens einen Punkt auf der Erde, der nicht auf einen Punkt auf der
Karte abgebildet wird. In den üblichen Darstellungen sind es sogar zwei: Nord- und Südpol. Auch die Riemannsche
Zahlenkugel illustriert das. Dem Nordpol entspricht kein Punkt in der komplexen Ebene. Zwei
Dinge gibt es, die wir im Zusammenhang mit Mannigfaltigkeiten noch erwähnen wollen: Das erste ist der
Begriff des Tangentialraums. Dieser umfasst die Spezialfälle des Tangentialvektors an einer Kurve und
der Tangentialebene an eine Fläche. Den Tangentialraum T p M an eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit
M im Punkt p ∈ M kann man sich am einfachsten als jeden n-dimensionalen Vektorraum vorstellen,
der von den Tangentialvektoren aller differenzierbaren Kurven durch p aufgespannt wird. Die Menge aller
Tangentialräume einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit M wird Tangentialbündel von M genannt
42

5.3 Zusammenfassung
Abbildung 5.7: Der Tangentialraum einer Mannigfaltigkeit M in einem Punkt p ∈ M.
und wir schreiben
T M := ∪
T p M.
p∈M
Das Tangentialbündel ist eine 2n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Die zweite Anmerkung ist etwas, das
dem abstrakten Mannigfaltigkeitsbegriff auf den ersten Blick viel von seiner Tragweite nimmt, der Einbettungssatz
von Withney:
Satz 5.4 (Einbettungssatz von Withney) Jede n-dimensionale Mannigfaltigkeit lässt sich in den R 2n+1
einbetten.
So gesehen kann man Mannigfaltigkeiten tatsächlich immer als Untermengen eines R n auffassen. In
den allermeisten Fällen ist es aber sehr schwierig, solche Einbettungen zu finden und es ist daher zielführender
sich gar nicht um diese Einbettungen zu kümmern.
5.3 Zusammenfassung
Definition 5.5 (Jordan-Kurve) Eine Kurve c(t) heißt Jordan-Kurve, wenn für jede Parametrisierung c(t)
mit c ′ (t) ∕= 0, t ∈ [a, b] ⊂ R gibt, so dass für alle t k ∈ [a, b] aus t 1 ∕= t 2 immer c(t 1 ) = c(t 2 ) folgt. Als
einzige Ausnahme wird c(a) = c(b) zu gelassen.
Satz 5.6 (Jordanscher Kurvensatz) Jede geschlossene Jordan-Kurve C zerlegt R 2 ∖ C ∗ in zwei disjunkte
einfach zusammenhängende offene Teilmengen, von denen genau eine beschränkt ist.
43

Kapitel 6
Der Umlaufsatz
In diesem Kapitel wollen wir definieren, was wir unter der Umlaufzahl einer Kurve verstehen und den
Umlaufsatz herleiten. Ziel wird es sein, den Umlaufsatz zu verstehen und zu beweisen. Dazu müssen wir
aber etwas ausholen und uns noch einmal den Kurvensatz von Jordan aus dem letzten Kapitel 5 vor Augen
führen. Das sogenannte Liftungslemma wird hierbei auch eine große Rolle spielen.
6.1 Die Umlaufzahl
Definition 6.1 (Die Umlaufzahl) Sei c : R → R 2 eine ebene nach Bogenlänge parametrisierte Kurve,
periodisch mit Periode L. Sei Θ : R → R die Tangentenwinkel-Funktion. Dann ist die Umlaufzahl der
Kurve c definiert durch
n c := 1 (Θ(L) − Θ(0)).
2π
Wir bemerken: Um die Tangentenwinkel-Funktion zu verstehen, führen wir ein Lemma an.
Lemma 6.2 Sei c : [a, b] ⊂ R → R 2 eine ebene nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Dann gibt es eine
C ∞ -Funktion Θ : [a, b] ⊂ R → R 2 , so dass
( )
c ′ cos(Θ(t))
(t) =
.
sin(Θ(t))
Sind Θ 1 und Θ 2 zwei solche Funktionen, so unterscheiden sie sich nur um ein ganzzahliges Vielfaches von
2π, das heißt Θ 1 = Θ 2 + 2kπ mit k ∈ Z konstant. Insbesondere ist Θ(b) − Θ(a) eindeutig durch die
Kurve c festgelegt.
Abbildung 6.1: Anschauliche Erklärung der Zahl Θ(t).
Die Zahl Θ(t) misst den Winkel zwischen dem Geschwindigkeitsvektor c ′ (t) und der x-Achse. Dieser
Winkel ist allerdings nur bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von 2π eindeutig. Jeder Einheitsvektor kann
in der Form (cos(Θ(t)), sin(Θ(t))) geschrieben werden. Die wichtige Aussage des Lemmas 6.2 ist, dass
44

6.1 Die Umlaufzahl
die Winkelfunktion Θ(t) als stetige, ja sogar glatte Funktion gewählt werden kann. Kommen wir zum
Beweis:
Beweis: a) Wir betrachten den Fall, dass das Bild c ′ ([a, b]) ganz in einem der folgenden vier Halbkreise
enthalten ist
S R = {(x, y) T ∈ S 1 ⊂ R 2 : x > 0}
S L = {(x, y) T ∈ S 1 ⊂ R 2 : x < 0}
S O = {(x, y) T ∈ S 1 ⊂ R 2 : y > 0}
S U = {(x, y) T ∈ S 1 ⊂ R 2 : y < 0}
Rechter Halbkreis
Linker Halbkreis
Oberer Halbkreis
Unterer Halbkreis
Wir verwenden die Notation c(t) = (c 1 (t), c 2 (t)). Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei das
Bild im rechten Halbkreis. Daraus folgt dann sofort c ′ 1 (t) > 0. Für Θ(t) muss gelten
c ′ 2 (t)
( )
sin(Θ(t))
c
′
=
(t) cos(Θ(t)) = tan(Θ(t)) ⇒ Θ(t) = arctan 2 (t)
c ′ 1 (t) + 2kπ, k ∈ Z.
c ′ 1
k ist konstant, da Θ(t) sonst nicht stetig wäre. Es ergibt sich, dass Θ(t) sogar glatt ist.
b) Wir lassen nun die Voraussetzung fallen, dass das Bild c ′ ([a, b]) ganz in einem Halbkreis enthalten
ist. Unterteile dazu das kompakte Intervall [a, b] wie folgt durch
a = t 0 < t 1 < . . . < t m = b,
sodass c ′ ([t i , t i+1 ]) in einem der vier Halbkreise enthalten ist. Geben wir Θ(a) vor, so erhalten
wir nach a) ein eindeutiges glattes Θ : [a, t 1 ] → R mit den gewünschten Eigenschaften. Daraus
folgt, dass Θ(t 1 ) eindeutig festgelegt ist. Mit a) ergibt sich eine glatte Fortsetzung Θ : [a, t 2 ] → R.
Induktiv erhalten wir Θ : [a, b] → R.
Beispiel: Wir betrachten den Kreis mit Radius r, der durch
c(t) :=
( ( ) ( ))
t t
r cos , r sin
r r
parametrisiert sein soll. Die Periode ist gegeben durch L = 2πr. Es folgt
c ′ (t) =
( ( ) ( )) ( ( t t t
− sin , cos = cos
r r r + π ) ( t
, sin
2 r + π ))
.
2
Die Winkelfunktion ergibt sich daher durch Θ(t) = t r + π 2
. Nun können wir die Umlaufzahl berechnen,
indem wir die Definition 6.1 anwenden. Sie ist gegeben durch
n c = 1
(
1 2πr
(Θ(2πr) − Θ(0)) = − π )
= 1.
2πr 2π r 2
Das bedeutet nichts anderes, als dass alle Kreise die Umlaufzahl 1 besitzen.
45

6.1 Die Umlaufzahl
Verdeutlichen wir uns die Umlaufzahl an einigen Abbildungen 6.2, 6.3 und 6.4.
Abbildung 6.2: Anschauliche Erklärung zur Umlaufzahl.
Abbildung 6.3: Anschauliche Erklärung zur Umlaufzahl: Auch die Richtung ist wichtig.
Abbildung 6.4: Anschauliche Erklärung zur Umlaufzahl: Auch die Richtung ist wichtig.
Lemma 6.3 Seien c 1 , c 2 : R → R 2 zwei ebene nach Bogenlänge parametrisierte Kurven, periodisch mit
Periode L. Entsteht c 2 aus c 1 durch eine orientierungserhaltende Parametertransformation, so gilt
n c2 = n c1 .
Entsteht c 2 aus c 1 durch eine orientierungsumkehrende Parametertransformation, so gilt
n c2 = −n c1 .
46

6.1 Die Umlaufzahl
Beweis: Sei c 1 = c 2 ∘ φ und φ die Parametertransformation. Es ergibt sich, dass
φ(t) = ±t + t 0 .
Hier haben wir die Eindeutigkeit der Parametriserung nach Bogenlänge ausgenutzt. Das Vorzeichen hängt
von der Orientierung ab, also ob diese entweder orientierungserhaltend oder orientierungsumkehrend ist.
Sei φ orientierungserhaltend, das heißt φ(t) + t 0 . Es ergibt sich, dass
c ′ 1(t) = c ′ 2(t + t 0 ) = (cos(Θ 2 (t + t 0 )), sin(Θ 2 (t + t 0 ))),
also Θ 1 = Θ 2 ∘ φ. Hierbei ist Θ 1 (t) = Θ 2 (t + t 0 ) und Θ 2 (t) = Θ 1 (t − t 0 ). Mit Θ 1 ist auch ˜Θ 1 eine
Winkelfunktion, für ˜Θ 1 (t) = Θ 1 (t + L), denn L ist die Periode der Kurve c. Es ergibt sich nun
n c2 − n c1 = 1
2π (Θ 2(L) − Θ 2 (0) − (Θ 1 (L) − Θ 1 (0)))
= 1
2π (Θ 1(L − t 0 ) − Θ 1 (t 0 ) − Θ 1 (L) + Θ 1 (0))
= 1
2π (( ˜Θ 1 (−t 0 ) − ˜Θ 1 (0)) − (Θ 1 (−t 0 ) − Θ 1 (0)))
= 0 ⇒ n c1 = n c2 .
Analog verfährt man im orientierungsumkehrenden Fall.
Die Frage, die wir nun klären wollen, ist Von welcher Form ist die Umlaufzahl? Wir wollen nun beweisen,
dass die Umlaufzahl immer eine ganze Zahl ist. Dies hängt mit der Winkelfunktion zusammen. Es ist
cos(Θ(L)) = cos(Θ(0)) und sin(Θ(L)) = sin(Θ(0)). Mit der Eulerschen Identität
e iΘ(L) = sin(Θ(L)) + i ⋅ cos(Θ(L))
erhalten wir
e iΘ(L) = e iΘ(0) ⇒ e i(Θ(L)−Θ(0)) = 1 ⇒ Θ(L) − Θ(0) ∈ 2πZ.
Demnach ist die Umlaufzahl immer eine ganze Zahl. Es ist relativ umständlich immer mit der Winkelfunktion
arbeiten zu müssen. Wir wollen daher einen Satz herleiten, der angibt, wie die Umlaufzahl noch
einfacher zu berechnen und zu bestimmen ist.
Satz 6.4 Sei c : R → R 2 eine nach Bogenlänge parametrisierte ebene periodische Kurve mit Periode L. Sei
k : R → R die Krümmung von c. Dann gilt
n c = 1
2π
∫ L
0
k(t) dt.
Beweis: Es sei c ′ (t) = (cos(Θ(t)), sin(Θ(t))). Man kann zeigen, dass
Θ ′ (t) = k(t). (6.1)
47

6.2 Der Umlaufsatz von Hopf
Aus Gleichung (6.1) folgt nun, dass
Damit ist alles gezeigt.
n c = 1
1
(Θ(L) − Θ(0)) =
2π 2π
∫ L
0
Θ ′ (t) dt (6.1)
= 1
2π
∫ L
0
k(t) dt.
Zur Ergänzung und der Vollständigkeithalber zeigen wir nochmals Gleichung (6.1). Nach unserem
Lemma 6.2 schreiben wir
Differentation auf beiden Seiten liefert nun
c ′ (t) = (cos(Θ(t)), sin(Θ(t))).
c ′′ (t) = ( − sin(Θ(t))Θ ′ (t), cos(Θ(t))Θ ′ (t) ) .
Andererseits wissen wir aber aus der Krümmungsdefinition, dass c ′′ (t) = k(t) ⋅ n(t). Es ergibt sich daher
c ′′ (t) = k(t) ⋅ n(t) = k(t) ⋅ (− sin(Θ(t)), cos(Θ(t))) = (−k(t) sin(Θ(t)), k(t) cos(Θ(t)))
und folglich die Behauptung Θ ′ (t) = k(t).
6.2 Der Umlaufsatz von Hopf
In diesem Abschnitt geben wir einen wichtigen und interessanten Satz an, der etwas über die Umlaufzahjl
einer einfach geschlossenen Kurve sagt:
Satz 6.5 (Der Umlaufsatz von Hopf) Sei c : R → R 2 eine einfach geschlossene reguläre Kurve, das heißt
c hat eine periodische reguläre Parametrisierung mit Periode L und c ist auf dem Intervall [0, L) injektiv.
Eine einfache geschlossene ebene Kurve hat dann Umlaufzahl 1 oder −1.
Anschaulich ist der Satz klar, wie uns Abbildung 6.5 demonstriert. Wir bemerken: Eine geschlossene
Abbildung 6.5: Der Umlaufsatz von Hopf.
ebene Kurve muss also einen Selbstschnitt haben, falls sie mehr als zwei Umläufte hat, das heißt die
Umlaufzahl vom Betrag her muss größer oder gleich 2 sein. Um diesen Satz zu beweisen, müssen wir ein
wenig ausholen und ein paar Lemmata anführen, die wir zunächst beweisen wollen. Mit diesen gelingt es
uns dann aber nach harter Arbeit einen schönen Beweis des Umlaufsatzes von Hopf anzugeben.
48

6.2 Der Umlaufsatz von Hopf
Lemma 6.6 (Liftungslemma) Sei X ⊂ R n sternförmig bzgl. einem Punkt x 0 . Sei e : X → S 1 ⊂ R 2 eine
stetige Abbildung. Dann existiert eine stetige Abbildung Θ : X → R, so dass
( )
cos(Θ(x))
e(x) =
= e iΘ(x) ∀x ∈ X.
sin(Θ(x))
Die Abbildung Θ ist durch Vorgabe von Θ(x 0 ) = Θ 0 eindeutig bestimmt.
Wir weisen auf das folgende kommutierende Diagramm hin, um sich das Liftungslemma vorzustellen:
Abbildung 6.6: Das Liftungfslemma: Die Abbildung e wird zu Θ geliftet.
Bevor wir zum Beweis des Liftungslemmas kommen, müssen wir uns zunächst klar machen bzw. definieren,
was „sternförmig “für uns bedeuten soll.
Definition 6.7 (sternförmig) Sei X ⊂ R n . Dann heißt X sternförmig bzgl. x 0 , falls für jeden Punkt
x ∈ X die Strecke zwischen x und x 0 komplett in X enthalten ist, das heißt wenn
tx + (1 − t)x 0 ∈ X ∀t ∈ [0, 1].
Beispiel: Zwei Beispiele für eine sternförmige und nicht-sternförmige Menge zeigen Abbildungen 6.7
und 6.8.
Abbildung 6.7: Diese Menge ist sternförmig bzgl. x 0 .
49

6.2 Der Umlaufsatz von Hopf
Abbildung 6.8: Diese Menge ist nicht sternförmig bzgl. x 0 .
50

6.2 Der Umlaufsatz von Hopf
Beweis des Liftungslemmas: a) Sei n = 1, X = [0, 1] und x 0 = 0. Das heißt man möchte e :
[0, 1] → S 1 ⊂ R 2 schreiben als e(t) = (cos(Θ(t)), sin(Θ(t))). Die Existenz von Θ folgt analog
zur Existenz der Winkelfunktion. Man ersetzt c ′ durch e. Da e nur als stetig vorausgesetzt ist, kann
auch Θ als stetig angesehen werden.
b) Die Eindeutigkeit von Θ zeigen wir so: Sei X ⊂ R n sternförmig bzgl. x 0 , x ∈ X und e : X →
S 1 ⊂ R 2 . Man definiert nun e X : [0, 1] → S 1 , e X (t) = e(tx + (1 − t)x 0 ). Mit a) folgt, dass genau
ein Θ X : [0, 1] → R existiert mit Θ X (0) = Θ 0 und e X (t) = (cos(Θ(t)), sin(Θ(t))). Existiert ein
Lift Θ, so folgt (da Θ X eindeutig ist)
Insbesondere also Θ(x) = Θ X (1).
Θ X (t) = Θ(tx + (1 − t)x 0 ).
c) Die Stetigkeit von Θ : X → R sieht man so ein: Man definiert dafür Θ(x) := Θ X (1). Dann gilt
( ) ( )
cos(Θ(x)) cos(Θ X (1))
=
= e X (1) = e(x).
sin(Θ(x)) sin(Θ X (1))
Es bleibt noch die Stetigkeit zu zeigen. Sei x ∈ X, ε > 0, 0 = t 0 < t 1 < . . . < t N = 1 mit
e x ([t i , t i+1 ]). Liegt also ganz in einem der vier Halbkreis. Wenn y ∈ X nahe bei x ist, dann folgt
Wir schließen so:
∥e X (t) − e Y (t)∥ < ε ∀t ∈ [0, 1].
⇒ e y ([t i , t i+1 ]) liegt in demselben Halbkreis wie e X ([t i , t i+1 ])
( )
e2X (t)
⇒ Θ X (t) = arctan + 2πk
e 1X (t)
( )
e2Y (t)
⇒ Θ Y (t) = arctan + 2πk
e 1Y (t)
Im Falle des linken oder rechten Halbkreises ist K fïr x und y dasselbe e = (e 1 , e 2 ) mit e X (1) =
e(x). Hieraus ergbt sich
Θ(x) − Θ(y) = Θ X (1) − Θ Y (1) = arctan
Daraus folgt die Stetigkeit von Θ.
( ) ( )
e2 (x)
e2 (y)
− arctan .
e 1 (x)
e 1 (y)
Beweis des Umlaufsatzes: Nun sind wir gewappnet, den Umlaufsatz zu beweisen. Auch dieser wird in
drei Schritte geteilt.
a) Es kann angenommen werden, dass
– c(0) = (0, 0) und c ′ (0) = (0, 1).
– c liegt links von der y-Achse.
51

6.2 Der Umlaufsatz von Hopf
Wieso dürfen wir diese Einschränkung treffen? Ganz einfach: c : R → R 2 sei periodisch mit
Periode L uns sei c = (c 1 , c 2 ). Dann gelten die folgenden Aussagen
– Sei x 0 := max{c 1 (t) : t}. Das Maximum wird angenommen, da das Bild c(R) ⊂ R 2 kompakt
ist, denn Bilder kompakter Mengen sind wieder kompakt. Wem diese Begründung nicht
zusagt, der sei darauf verwiesen, dass wir es auch so begründen können: c : [0, L] → R 2 und
[0, L] sind kompakt.
– Sei L := {(x, y) ∈ R 2 : x = x 0 }. Die Gerade L schneidet die Kurve c in dem Punkt p.
– Sei G := {p + s(1, 0) : s ∈ R}. Auf der Geraden G liegen für s > 0 keine Punkte von c.
Abbildung 6.9: Die Gerade G.
– Die Parametertransformation und die euklidischen Bewegungen liefern:
* c(0) = (0, 0)
* c ′ (0) = (0, 1)
* c liegt links von der y-Achse.
Weiter im Beweis:
b) Sei X := {(t 1 , t 2 ) : 0 ≤ t 1 ≤ t 2 ≤ L}. X ist bezüglich (0, 0) sternförmig. Wir betrachten die
Abbildung 6.10: Die Menge X.
52

6.2 Der Umlaufsatz von Hopf
folgende stetige Abbildung e : X → S 2 mit
e(t 1 , t 2 ) := c(t 2) − c(t 1 )
∥c(t 2 ) − c(t 1 )∥
e(t 1 , t 2 ) := c ′ (t)
e(t 1 , t 2 ) := −c ′ (0)
für t 1 = t 2 = t
für t 2 > t 1 , (t 1 , t 2 ) ∕= (0, L)
für t 1 = 0, t 2 = L.
Nach dem Liftungslemma 6.6 existiert ein Θ : X → R mit
e(t 1 , t 2 ) = (cos(Θ(t 1 , t 2 )), sin(Θ(t 1 , t 2 ))).
Insbesondere ist t → Θ(t, t) eine Winkelfunktion der Kurve c, da
Hieraus folft
Zum letzten Schritt:
c ′ (t) = e(t, t) = (cos(Θ(t, t)), sin(Θ(t, t))).
2πn c = Θ(L, L) − Θ(0, 0) = (Θ(L, L) − Θ(0, L)) + (Θ(0, L) − Θ(0, 0)).
c) (1, 0) liegt nicht im Bild von t → e(0, t). Wieso? Dies ist ganz einfach. Begründen wir dies kurz:
– Die Annahme, dass ein t ∈ [0, L) existiert mit e(0, t) = (1, 0) und
( )
c(t) − c(0)
e(0, t) =
∥c(t) − c(0)∥ = 1
0
liefert, dass c auf dem rechten Halbkreis von G liet. Dies ist ein Widerspruch und es folgt
( )
c(t) = c(0) + μ
1
0
.
– Es gilt ( )
1
⊥ c ′ (0) ,
0 }{{}
=c(0,0)
( )
1
⊥ c ′ (0) .
0 }{{}
=c(0,L)
Daraus folgt, dass das Bild der Abbildung t → Θ(0, t) in einem Intervall der Form (2πk, 2π(k+
1)) liegt. Wir folgern nun
( )
Θ(0, L) = 3 2 π + 2πk, da e(0, L) = 0
−c′ (0) =
−1
( )
Θ(0, 0) = 1 2 π + 2πk, da e(0, 0) = 0
c′ (0) =
1
⇒ Θ(0, L) − Θ(0, 0) = π
53

6.3 Zusammenfassung
( )
−1
Analog erhält man Θ(L, L) − Θ(0, L) = π. Hier nutzt man aus, dass nicht im Bild
0
von t → e(t, L), da ( )
( )
−1
1
= e(t, L) ⇒ c(L) + μ .
0
0
Es ergibt sich nun
2πn c = π + π = 2π,
also n c = 1. Analog erhält man n c = −1, wenn man in die andere Richtung läuft. Damit ist auch der
Umlaufsatz von Hopf bewiesen.
6.3 Zusammenfassung
Definition 6.8 (Winkelfunktion) Θ : [a, b] → R mit c ′ (t) = (cos(Θ(t)), sin(Θ(t))) bezeichnet man als
Winkelfunktion.
Abbildung 6.11: Die Winkelfunktion.
Definition 6.9 (Die Umlaufzahl) Sei c : R → R 2 eine ebene nach Bogenlänge parametrisierte Kurve,
periodisch mit Periode L. Sei Θ : R → R die Tangentenwinkel-Funktion. Dann ist die Umlaufzahl der
Kurve c definiert durch
n c := 1 (Θ(L) − Θ(0)).
2π
Satz 6.10 (Einfachere Berechnung der Umlaufzahl) Sei c : R → R 2 eine nach Bogenlänge parametrisierte
ebene periodische Kurve mit Periode L. Sei k : R → R die Krümmung von c. Dann gilt
n c = 1
2π
∫ L
0
k(t) dt.
Satz 6.11 (Wichtige Ergebnisse zur Umlaufzahl) Für die Umlaufzahl n c hatten wir gezeigt:
n c ist unabhängig (bis auf das Vorzeichen) von der Parametrisierung.
n c ist ganzzahlig, das heißt n c ∈ Z.
n c = 1
2π
∫ L
0 k(t) dt. 54

6.3 Zusammenfassung
Satz 6.12 (Der Umlaufsatz von Hopf) Sei c : R → R 2 eine einfach geschlossene reguläre Kurve, das heißt
c hat eine periodische reguläre Parametrisierung mit Periode L und c ist auf dem Intervall [0, L) injektiv.
Eine einfache geschlossene ebene Kurve hat dann Umlaufzahl 1 oder −1.
55

Literaturverzeichnis
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[O’S07]
Donal O’Shea. Poincarés Vermutung: Die Geschichte eines mathematischen Abenteuers. 4. Aufl.
Fischer (S.), Frankfurt, 2007.
[Spi79] Michael Spivak. Comprehensive Introduction To Differential Geometry, 2nd Edition, Volume 5.
PUBLISH OR PERISH INC, 1979.
[Szp08]
George G. Szpiro. Das Poincaré-Abenteuer: Ein mathematisches Welträtsel wird gelöst. 2. Aufl.
Piper, 2008.
56