Skript

1.3 Umparametrisierungen und Bogenlänge
Der Geschwindigkeitsvektor der Helix lautet c ′ (t) = (− sin(t), cos(t), 1). Auch hier sieht man,
dass die Helix regulär parametrisiert ist, da der letzte Eintrag des Geschwindigkeitsvektors immer
konstant 1 ist.
Das Beispiel 1.1 des Kreises zeigt, dass eine regulär parametrisierte Kurve nicht unbedingt injektiv sein
muss. Man kann die Injektivität aber nach Einschränkung auf ein kleines Intervall fordern. Darauf kommen
wir nochmals zu sprechen, wenn wir den Begriff von „einfach geschlossen“ einführen und motivieren
werden.
1.3 Umparametrisierungen und Bogenlänge
In diesem Abschnitt wollen wir den Begriff der Bogenlänge teils einführen und teils voraussetzen und
uns klar machen, was es bedeutet, wenn eine Kurve nach Bogenlänge parametrisiert ist. Wir widmen
dem Begriff einen ganzen Abschnitt, da dieser für die Berechnung der Länge einer Kurve angenehme
Konsequenzen hat, wie wir im nächsten Kapitel sehen werden. Zuvor müssen wir aber noch ein paar
andere Dinge definieren.
Eine Kurve c : I ⊂ R → R n ist die Punktmenge c(I) ⊂ R n zusammen mit seiner Parametrisierung.
Diese Parametrisierung gibt an, wie c(I) durchlaufen werden soll. Wir haben schon gesehen, dass man
zum Beispiel eine Gerade auf vielerlei Arte parametrisieren kann, ohne das Bild zu ändern!
Häufig möchte man die Parametrisierung ändern und dabei die Bildkurve aber so belassen, wie sie ist.
Hierfür definieren wir:
Definition 1.3 (Umparametrisierung) Sei c : I ⊂ R → R n eine parametrisierte Kurve. Eine Parametertransformation
von c ist eine bijektive Abbildung φ : J → I, wobei J ⊂ R ein weiteres Intervall ist,
so dass sowohl φ : J → I als auch φ −1 : I → J unendlich oft differenzierbar sind. Die parametrisierte
Kurve ˜c := c ∘ φ : J → R n heißt Umparametrisierung von c.
Folgende Abbildung 1.10 verdeutlicht Definition 1.3 ganz gut.
Abbildung 1.10: Eine Umparametrisierung.
Wir wollen nun zeigen, dass die Umparametrisierung einer Kurve c die Eigenschaft der Regularität
erhält, das heißt wir beweisen den folgenden Satz.
Satz 1.4 Gegeben sei eine reguläre Parametrisierung der Kurve c. Dann ist jede Umparametrisierung wieder
regulär.
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