Skript

5.1 Jordan-Kurven
Abbildung 5.3: Anschaulich würde man as gesamte orange schattierte Gebiet als Inneres der Kurve bezeichnen.
Allerdings kann man dann, wie rechts dargestellt, die Kurve überqueren und dennoch immer im
Inneren bleiben.
die in Abbildung 5.5 schattierten Bereiche ansehen. Alle Probleme in den vorangegangenen Beispiele
Abbildung 5.4: Nennt man das blau schattierte Gebiet das Innere der Kurve, so wird ein großer Bereich durch eine
kleine Verformung der Kurve von „außen “zu „innen “.
Abbildung 5.5: Als Inneres der Kurve aus den Abbildungen 5.3 und 5.4 könnte etwa nur das hier schattierte Gebiet
zugelassen werden.
hatten aber ihren Ursprung darin, dass es Punkte gab, in denen sich die Kurven selbst schnitten. Für
Jordan-Kurven gilt das folgende wichtige Resultat.
Satz 5.3 (Jordanscher Kurvensatz) Jede geschlossene Jordan-Kurve C zerlegt R 2 ∖ C ∗ in zwei disjunkte
einfach zusammenhängende offene Teilmengen, von denen genau eine beschränkt ist.
C ∗ bezeichnet dabei das Bild der Kurve. Eine geschlossene Jordan-Kurve hat demnach, wie es die
Anschauung nahelegt, tatsächlich ein Inneres und ein Äußeres. Diese Feststellung ist allerdings schwierig
zu beweisen und wir verzichten an dieser Stelle darauf.
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