Skript

6.2 Der Umlaufsatz von Hopf
folgende stetige Abbildung e : X → S 2 mit
e(t 1 , t 2 ) := c(t 2) − c(t 1 )
∥c(t 2 ) − c(t 1 )∥
e(t 1 , t 2 ) := c ′ (t)
e(t 1 , t 2 ) := −c ′ (0)
für t 1 = t 2 = t
für t 2 > t 1 , (t 1 , t 2 ) ∕= (0, L)
für t 1 = 0, t 2 = L.
Nach dem Liftungslemma 6.6 existiert ein Θ : X → R mit
e(t 1 , t 2 ) = (cos(Θ(t 1 , t 2 )), sin(Θ(t 1 , t 2 ))).
Insbesondere ist t → Θ(t, t) eine Winkelfunktion der Kurve c, da
Hieraus folft
Zum letzten Schritt:
c ′ (t) = e(t, t) = (cos(Θ(t, t)), sin(Θ(t, t))).
2πn c = Θ(L, L) − Θ(0, 0) = (Θ(L, L) − Θ(0, L)) + (Θ(0, L) − Θ(0, 0)).
c) (1, 0) liegt nicht im Bild von t → e(0, t). Wieso? Dies ist ganz einfach. Begründen wir dies kurz:
– Die Annahme, dass ein t ∈ [0, L) existiert mit e(0, t) = (1, 0) und
( )
c(t) − c(0)
e(0, t) =
∥c(t) − c(0)∥ = 1
0
liefert, dass c auf dem rechten Halbkreis von G liet. Dies ist ein Widerspruch und es folgt
( )
c(t) = c(0) + μ
1
0
.
– Es gilt ( )
1
⊥ c ′ (0) ,
0 }{{}
=c(0,0)
( )
1
⊥ c ′ (0) .
0 }{{}
=c(0,L)
Daraus folgt, dass das Bild der Abbildung t → Θ(0, t) in einem Intervall der Form (2πk, 2π(k+
1)) liegt. Wir folgern nun
( )
Θ(0, L) = 3 2 π + 2πk, da e(0, L) = 0
−c′ (0) =
−1
( )
Θ(0, 0) = 1 2 π + 2πk, da e(0, 0) = 0
c′ (0) =
1
⇒ Θ(0, L) − Θ(0, 0) = π
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