Skript

4.3 Der Satz von Fenchel
muss ihre Totalkrümmung also mindestens 2π betragen.
L∫
Der Satz von Fenchel stellt die Forderung k(c) ≥ k(s)ds ≥ 2π nicht nur an einfach geschlossene
Kurven (wie das im Umlaufsatz von Hopf der Fall ist), sondern verallgemeinert die Aussage noch etwas
mehr.
Um den Satz von Fenchel leicht beweisen zu können, benötigen wir eine Definition und zwei Lemmata.
Definition 4.3 (Sphärischen Kurve:) Sei c : [a, b] −→ R 3 eine reguläre Raumkurve. Dann definiert man
die sphärische Kurve (auch tangentiale Indikatrix genannt) wie folgt:
γ c : [a, b] → S 2 ⊂ R 3
γ c (t) ≥
0
˙c(t)
∥ ˙c(t)∥
Wir bemerken: Man kann die Indikatrix auch allgemeiner für R n definieren:
Die Indikatrix c ind einer regulär parametrisierten Kurve c : I −→ R n ist die Abbildung
c ind : I −→ S n−1 ⊂ R n , c ind (t) =
˙c(t)
∥ ˙c(t)∥ .
Kurven auf der Kugeloberfläche heißen also sphärische Kurven. Wichtige sphärische Kurven sind Großkreise
oder Kleinkreise. Die Kurve γ c ist im Allgemeinen weder regulär noch nach Bogenlänge parametrisiert.
Die Frenet-Kurven im Raum sind also genau die regulären Kurven c : I −→ R 3 mit regulärer
Indikatrix γ c . Die totale Absolutkrümmung (Totalkrümmung) ∫ L
0
k(s) ds ist also nichts anderes als die
Gesammtlänge von γ c als sphärische Kurve.
Die Totalkrümmung ist jedoch definiert als k(c) = ∫ L
L∫
0 k(s) ds = ∣c ′′ ∣ = L[c ′ ]. Der Satz von Fenchel
fragt sich danach also, wieso die Länge des Tangentialbildes, d. h. der Kurve v = c ′ : I → S 2 , nicht
kleiner als 2π sein kann.
Lemma 4.4 Ist c : I −→ R 3 geschlossen (periodisch, regulär parametrisiert), dann liegt γ c in keiner
offenen Hemisphäre.
γ c liegt in einer abgeschlossenen Hemisphäre genau dann, wenn c in einer Ebene (allgemeiner: affine
Hyperebene im R n ) liegt. In diesem Fall liegt γ c in einem Großkreis.
Beweis: Da sich die Spur der Indikatrix nicht ändert, wenn man die Kurve c umparametrisiert, können
wir Œ annehmen, dass c nach der Bogenlänge parametrisiert ist mit der Periode L.
0
“=⇒ “:
Angenommen γ c liegt in einer abgeschlossenen Hemisphäre. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit
nehmen wir an, dass γ c in der nördlichen Hemisphäre enhalten ist. Ansonsten führen wir eine geeignete
Rotation durch. Weiterhin sei c(t) = (x(t), y(t), z(t)) und
γ c (t) = (γc 1 (t), γc 2 (t), γc 3 (t)).
34