Skript

Kapitel 5
Jordan-Kurven und Mannigfaltigkeiten
In diesem Paragraphen wollen wir einen kleinen Abstecher zu besonderen Kurven machen, nämlich zu
den Jordan-Kurven. Dies sind Kurven, die sich nicht selbst schneiden. Des Weiteren werden wir einen
kleinen Exkurs in die Mannigfaltigkeiten vornehmen, denn dieser Begriff umfasst sowohl Kurven als
auch Flächen und ermöglicht es aber zugleich, die beiden Konzepte im Wesentlichen zu verallgemeinern.
5.1 Jordan-Kurven
Wie oben erwähnt, bezeichnet man Kurven, die sich selbst nicht schneiden, als Jordan-Kurven. Im Allgemeinen
kann sich eine Kurve selbst schneiden. Das bedeutet, es gibt für eine Parametrisierung c(t)
Parameterwerte t 1 ∕= t 2 , für die c(t 1 ) = c(t 2 ) ist. Während im Raum ein solcher Schnittpunkt durch
eine beliebige kleine Verformung der Kurve entfernt werden kann, ist das in der Ebene nicht möglich. Für
viele Zweckesind aber gerade Kurven interessant, die sich nicht auf derartige Weise selbst schneiden, und
dieser verdinen daher einen eignenen Namen.
Definition 5.1 (Jordan-Kurve) Eine Kurve c(t) heißt Jordan-Kurve, wenn für jede Parametrisierung c(t)
mit c ′ (t) ∕= 0, t ∈ [a, b] ⊂ R gibt, so dass für alle t k ∈ [a, b] aus t 1 ∕= t 2 immer c(t 1 ) = c(t 2 ) folgt. Als
einzige Ausnahme wird c(a) = c(b) zu gelassen.
Jordan-Kurven dürfen demnach geschlossen sein. Abgesehen davon darf es aber keine weiteren „Doppelpunkte
“geben. Jordan- und allgemeine Kurven sind einander in den folgenden Abbildungen 5.1 und
5.2 dargestellt.
Abbildung 5.1: Beispiele für Jordan-Kurven.
Abbildung 5.2: Drei Kurven, die keine Jordan-Kurven sind.
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