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6.3 Zusammenfassung ( ) −1 Analog erhält man Θ(L, L) − Θ(0, L) = π. Hier nutzt man aus, dass nicht im Bild 0 von t → e(t, L), da ( ) ( ) −1 1 = e(t, L) ⇒ c(L) + μ . 0 0 Es ergibt sich nun 2πn c = π + π = 2π, also n c = 1. Analog erhält man n c = −1, wenn man in die andere Richtung läuft. Damit ist auch der Umlaufsatz von Hopf bewiesen. 6.3 Zusammenfassung Definition 6.8 (Winkelfunktion) Θ : [a, b] → R mit c ′ (t) = (cos(Θ(t)), sin(Θ(t))) bezeichnet man als Winkelfunktion. Abbildung 6.11: Die Winkelfunktion. Definition 6.9 (Die Umlaufzahl) Sei c : R → R 2 eine ebene nach Bogenlänge parametrisierte Kurve, periodisch mit Periode L. Sei Θ : R → R die Tangentenwinkel-Funktion. Dann ist die Umlaufzahl der Kurve c definiert durch n c := 1 (Θ(L) − Θ(0)). 2π Satz 6.10 (Einfachere Berechnung der Umlaufzahl) Sei c : R → R 2 eine nach Bogenlänge parametrisierte ebene periodische Kurve mit Periode L. Sei k : R → R die Krümmung von c. Dann gilt n c = 1 2π ∫ L 0 k(t) dt. Satz 6.11 (Wichtige Ergebnisse zur Umlaufzahl) Für die Umlaufzahl n c hatten wir gezeigt: n c ist unabhängig (bis auf das Vorzeichen) von der Parametrisierung. n c ist ganzzahlig, das heißt n c ∈ Z. n c = 1 2π ∫ L 0 k(t) dt. 54
6.3 Zusammenfassung Satz 6.12 (Der Umlaufsatz von Hopf) Sei c : R → R 2 eine einfach geschlossene reguläre Kurve, das heißt c hat eine periodische reguläre Parametrisierung mit Periode L und c ist auf dem Intervall [0, L) injektiv. Eine einfache geschlossene ebene Kurve hat dann Umlaufzahl 1 oder −1. 55
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Elementare Differentialgeometrie Fl
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