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4.3 Der Satz von Fenchel Abbildung 4.5: Die geschlossene Kurve aus γ 1 und γ 2 . Abbildung 4.6: p, q und N auf einem Großkreis. 36
4.3 Der Satz von Fenchel Wir können weiterhin annehmen, dass γ den Äquator schneidet. Denn würde γ den Äquator nicht schneiden, so würde γ schon in einer offenen Hemisphäre liegen und wir hätten nichts zu zeigen. Anderfalls schneidet entweder γ 1 oder γ 2 den Äquator. Œ(der andere Fall behandelt sich analog) soll γ 1 den Äquator in Punkt r schneidet. Abbildung 4.7: γ 1 schneidet den Äquator in r. Man ersätzt nun γ 2 durch die um 180 Grad um die z-Achse gedrehte Kurve (Punktspiegelung). Genauer: Sei φ : S 2 → S 2 die Punktspiegelung am Nordpol. Da p, q und N auf demselben Großkreis liegen und p, q denselben Abstand zum Nordpol besitzen, ist φ(p) = q , φ(q) = p. Durch eine Punktspiegelung der Kurve γ 1 erhalten wir eine Kurve γ 2 ′ . Die neue Kurve γ ′ ≥ γ 1 + γ 2 ist wieder geschlossen und hat die Länge L. Weiter gilt: γ ′ 2 hat die Länge L 2 (denn Drehungen erhalten Längen) γ ′ schneidet den Äquator in diametral gegenüberliegenden Punkten r und r ′ . D. h. r und r ′ gehen durch eine 180 Grad-Drehung auseinander hervor Länge rr ′ ≥ der Länge r ′ r, wobei rr ′ ≥ Kurvenstück von r nach r ′ im Durchlaufsinn von γ Da nun Länge pr ≥ Länge pr ′ ≥ folgt: Länge rr ′ ≥ Länge pq − Länge pr + Länge qr ′ ≥ Länge pq ≥ L 2 37
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