Skript

Kapitel 3
Die Krümmung einer Kurve
In diesem Abschnitt soll es um die Krümmung von ebenen und räumlichen Kurven gehen. Das Gute
ist, dass man sich unter der Krümmung anschaulich sehr gut etwas vorstellen kann. Wir werden also
zunächst einmal zeigen, was man unter der Krümmung zu verstehen hat und wie diese im R 2 bzw. im R 3
definiert ist und ob es vielleicht ein Problem zwischen diesen beiden Definitionen gibt.
3.1 Geschlossenheit von Kurven
Zunächst wollen wir zwei Begriffe definieren, die wir später noch einmal benötigen werden. Diese haben
zunächst nicht viel mit der Krümmung zu tun. Wir führen sie aber der Vollständigkeit halber aus.
Definition 3.1 (Periode, geschlossen) Sei c : R → R 2 eine parametrisierte Kurve. Diese Kurve heißt
periodisch mit Periode L, falls für alle t ∈ R gilt, dass
c(t + L) = c(t) mit L > 0.
Außerdem fordert man, dass es kein 0 < L ′ < L gibt mit c(t + L ′ ) = c(t) ∀t ∈ R. Eine Kurve heißt
geschlossen, wenn sie eine periodische reguläre Parametrisierung besitzt.
Beispiel: Der Kreis aus Kapitel 1 ist periodisch mit Periode L = 2π.
Definition 3.2 (einfach geschlossen) Eine geschlossene Kurve c heißt einfach geschlossen, wenn sie eine
periodische reguläre Parametrisierung c mit Periode L besitzt, so dass die Einschränkung auf das Intervall
[0, L], also c ∣[0,L] injektiv ist.
Verdeutlichen wir uns die Definition anhand zweier Bilder. Siehe dazu die Abbildungen 3.1 und 3.2
Abbildung 3.1: Beispiel einer einfach geschlossenen Kurve im R 2 .
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