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Inhaltsverzeichnis 1 Was ist eine Kurve? 4 1.1 Beispiele für Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Was ist eine Kurve? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Umparametrisierungen und Bogenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Zusammenfassung wichtiger Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Die Länge einer Kurve 14 2.1 Die Länge einer Kuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Einige Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 Die Krümmung einer Kurve 21 3.1 Geschlossenheit von Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Krümmung ebener Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3 Krümmung räumlicher Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4 Krümmung im n-Dimensionalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4 Der Satz von Fenchel 30 4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.2 Exkurs in die sphärische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.2.1 Großkreise - Die „Geraden“ auf der Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2.2 Großkreisbögen - Die „Strecken “ auf der Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2.3 Ein paar Begrifflichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.3 Der Satz von Fenchel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.4 Abschluss und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5 Jordan-Kurven und Mannigfaltigkeiten 39 5.1 Jordan-Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.2 Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6 Der Umlaufsatz 44 6.1 Die Umlaufzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6.2 Der Umlaufsatz von Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Literaturverzeichnis 56 2
Vorwort Dieses Training wird gerade für Rhombus e.V., einem Verein zur Förderung mathematikbegeisterter junger Menschen angeboten. Alle interessierten Teilnehmer sind herzlich willkommen. Dieses Training zur elementaren Differentialgeometrie basiert auf einem Akademiekurs, der im Jahr 2008 auf einer Akademie in Balderschwang statt fand. Das <strong>Skript</strong> wiederum basiert auf dem gut strukturierten Buch von Christian Bär. In dem Training beschäftigen wir uns mit Kurven und ihren Eigenschaften. Wir werden lernen, wie wir die Länge einer Kurve berechnen können, wie Krümmung definiert ist oder was der Hauptsatz der Raumkurventheorie besagt. Jeder, der mit der mathematischen Denk- und Sprechweise gut zurecht kommt, wird gut mit dem Training zurecht kommen, da wir keinerlei große Voraussetzungen benötigen. 3
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Seite 13 und 14: 1.4 Zusammenfassung wichtiger Begri
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Seite 17 und 18: 2.1 Die Länge einer Kuve 5. Schrit
Seite 19 und 20: 2.3 Zusammenfassung Der ein oder an
Seite 21 und 22: Kapitel 3 Die Krümmung einer Kurve
Seite 23 und 24: 3.2 Krümmung ebener Kurven Abbildu
Seite 25 und 26: 3.3 Krümmung räumlicher Kurven Be
Seite 27 und 28: 3.4 Krümmung im n-Dimensionalen to
Seite 29 und 30: 3.5 Zusammenfassung Kurve. Die Funk
Seite 31 und 32: 4.2 Exkurs in die sphärische Geome
Seite 33 und 34: 4.3 Der Satz von Fenchel Ist c nich
Seite 35 und 36: 4.3 Der Satz von Fenchel Da γ c in
Seite 37 und 38: 4.3 Der Satz von Fenchel Wir könne
Seite 39 und 40: Kapitel 5 Jordan-Kurven und Mannigf
Seite 41 und 42: 5.1 Jordan-Kurven Abbildung 5.3: An
Seite 43 und 44: 5.3 Zusammenfassung Abbildung 5.7:
Seite 45 und 46: 6.1 Die Umlaufzahl die Winkelfunkti
Seite 47 und 48: 6.1 Die Umlaufzahl Beweis: Sei c 1
Seite 49 und 50: 6.2 Der Umlaufsatz von Hopf Lemma 6
Seite 51 und 52: 6.2 Der Umlaufsatz von Hopf Beweis
Seite 53 und 54:
6.2 Der Umlaufsatz von Hopf folgend
Seite 55 und 56:
6.3 Zusammenfassung Satz 6.12 (Der
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