Skript

4.2 Exkurs in die sphärische Geometrie
4.2.1 Großkreise - Die „Geraden“ auf der Kugel
Als Großkreis wird in der sphärischen Geometrie jeder Kreis auf der Kugeloberfläche bezeichnet, dessen
euklidischer Mittelpunkt gleichzeitig der Mittelpunkt der Kugel ist. Man erhält also einen Großkreis,
indem man die Kugel mit einer beliebigen Ebene schneidet, die den Kugelmittelpunkt enthält. So ist
beispielsweise der Äquator auf der Erdkugel ein Großkreis. Er unterteilt die Kugeloberfläche in zwei
gleich große Teile.
Großkreise werden in der sphärischen Geometrie als Geraden bezeichnet. Hier zeigt sich ein Unterschied
zwischen sphärischer und euklidischer Geometrie: Laut dem Parallelenaxiom der euklidischen
Geometrie schneiden sich zwei Geraden nicht zwangsläufig, zum Beispiel dann nicht, wenn sie parallel
sind. Zwei Geraden auf der Kugeloberfläche, also Großkreise, schneiden sich jedoch immer, nämlich in
zwei gegenüberliegenden Punkten der Kugel.
4.2.2 Großkreisbögen - Die „Strecken “ auf der Kugel
Sucht man auf der Kugeloberfläche die kürzeste Verbindung zwischen zwei beliebigen Punkten A und
B, so erkennt man, dass diese den Teil eines Großkreises darstellt. Klappt man nun alle Schnittkreise
in die Großkreisebene, so erkennt man, dass der Großkreisbogen b die kürzeste Verbindung zwischen
den Punkten A und B darstellt und direkt auf der Kugeloberfläche verläuft, während die Bögen der
kleineren Kreise b 1 und b 2 aus der Kugeloberfläche „herausragen “ und somit länger sein müssen (siehe
auch Abbildung 4.2).
Abbildung 4.2: Die Großkreisbögen
Daher ist in der sphärischen Geometrie jede Strecke zwischen zwei beliebigen Punkten ein Teil eines
Großkreisbogens. Wenn man beispielsweise auf einem Globus einen Gummifaden zwischen zwei Punkten
spannt, dann verläuft dieser ebenfalls entlang eines Großkreises. Außerdem erklärt dies, warum Großkreise
in der sphärischen Geometrie als Geraden bezeichnet werden: Auch in der euklidischen Geometrie liegt
die kürzeste Strecke zwischen zwei Punkten auf der Geraden, die durch sie verläuft.
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