Skript

6.1 Die Umlaufzahl
die Winkelfunktion Θ(t) als stetige, ja sogar glatte Funktion gewählt werden kann. Kommen wir zum
Beweis:
Beweis: a) Wir betrachten den Fall, dass das Bild c ′ ([a, b]) ganz in einem der folgenden vier Halbkreise
enthalten ist
S R = {(x, y) T ∈ S 1 ⊂ R 2 : x > 0}
S L = {(x, y) T ∈ S 1 ⊂ R 2 : x < 0}
S O = {(x, y) T ∈ S 1 ⊂ R 2 : y > 0}
S U = {(x, y) T ∈ S 1 ⊂ R 2 : y < 0}
Rechter Halbkreis
Linker Halbkreis
Oberer Halbkreis
Unterer Halbkreis
Wir verwenden die Notation c(t) = (c 1 (t), c 2 (t)). Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei das
Bild im rechten Halbkreis. Daraus folgt dann sofort c ′ 1 (t) > 0. Für Θ(t) muss gelten
c ′ 2 (t)
( )
sin(Θ(t))
c
′
=
(t) cos(Θ(t)) = tan(Θ(t)) ⇒ Θ(t) = arctan 2 (t)
c ′ 1 (t) + 2kπ, k ∈ Z.
c ′ 1
k ist konstant, da Θ(t) sonst nicht stetig wäre. Es ergibt sich, dass Θ(t) sogar glatt ist.
b) Wir lassen nun die Voraussetzung fallen, dass das Bild c ′ ([a, b]) ganz in einem Halbkreis enthalten
ist. Unterteile dazu das kompakte Intervall [a, b] wie folgt durch
a = t 0 < t 1 < . . . < t m = b,
sodass c ′ ([t i , t i+1 ]) in einem der vier Halbkreise enthalten ist. Geben wir Θ(a) vor, so erhalten
wir nach a) ein eindeutiges glattes Θ : [a, t 1 ] → R mit den gewünschten Eigenschaften. Daraus
folgt, dass Θ(t 1 ) eindeutig festgelegt ist. Mit a) ergibt sich eine glatte Fortsetzung Θ : [a, t 2 ] → R.
Induktiv erhalten wir Θ : [a, b] → R.
Beispiel: Wir betrachten den Kreis mit Radius r, der durch
c(t) :=
( ( ) ( ))
t t
r cos , r sin
r r
parametrisiert sein soll. Die Periode ist gegeben durch L = 2πr. Es folgt
c ′ (t) =
( ( ) ( )) ( ( t t t
− sin , cos = cos
r r r + π ) ( t
, sin
2 r + π ))
.
2
Die Winkelfunktion ergibt sich daher durch Θ(t) = t r + π 2
. Nun können wir die Umlaufzahl berechnen,
indem wir die Definition 6.1 anwenden. Sie ist gegeben durch
n c = 1
(
1 2πr
(Θ(2πr) − Θ(0)) = − π )
= 1.
2πr 2π r 2
Das bedeutet nichts anderes, als dass alle Kreise die Umlaufzahl 1 besitzen.
45