Skript

2.3 Zusammenfassung
Der ein oder andere wird sich vielleicht fragen, wieso wir die Kurven aus den ersten Beispielen nicht
einfach nach Bogenlänge umparametrisieren, damit wir das Integral leichter ermitteln können. Der Grund
liegt einfach darin, dass solche Umparametrisierungen in der Realität nicht so leicht zu finden sind.
Wir berechnen die Länge der logarithmischen Spirale c : R → R 2 , c(t) := μe λt ⋅ (cos(t), sin(t))
mit μ < 0 < λ auf einem Intervall [a, b]. Da c ′ (t) = μe λt (λ cos(t) − sin(t), λ sin(t) + cos(t)),
folgt
∣c ′ (t)∣ =
√
(μe λt ) 2 ⋅ √ (λ cos(t) − sin(t), λ sin(t) + cos(t)) 2
= (μe λt ) 2 √λ 2 cos 2 (t) − 2λ cos(t) sin(t) + sin 2 (t) + λ 2 sin 2 (t) + 2λ sin(t) cos(t) + cos 2 (t)
= (μe λt ) 2 √λ 2 cos 2 (t) + λ 2 sin 2 (t) + sin 2 (t) + cos 2 (t)
= (μe λt ) 2√ 1 + λ 2 .
Wir erhalten also
∫ b
L(c ∣[a,b] ) = (μe λt ) 2√ 1 + λ 2 = μ λ (eλb − e λa ).
a
Die Helix mit der Ganghöhe h und Radius r > 0 ist die Kurve
c : R → R 3 , c(t) := (r cos(t), r sin(t), ht
2π .
Der Geschwindigkeitsvektor von c ist c ′ (t) = (−r sin(t), r cos(t), h/2π). Damit besitzt c ′ (t) die
Länge
√
∣c ′ (t)∣ =
h
∣ (−r sin(t), r cos(t), 2π ∣ = r 2 sin 2 (t) + r 2 cos 2 (t) + h2
4π
√
√
2
= r 2 (sin 2 (t) + cos 2 (t)) + h2
4π 2 = r 2 + h2
4π 2 .
Daraus ergibt sich nun
L(c ∣[a,b] ) = (b − a) ⋅
√
r 2 + h2
4π 2 .
Für proportioanl nach Bogenlänge parametrisierte Kurven gilt demnach
L(c ∣[a,b] ) = (b − a) ⋅ ∣c ′ (t)∣.
2.3 Zusammenfassung
In diesem Abschnitt haben wir nicht allzu viel zusammenzufassen, aber dennoch ein paar Kleinigkeiten:
Länge einer Kurve: Sei c : [a, b] → R n eine regulär parametrisierte Kurve. Dann heißt
∫ b
L[c] = ∣c ′ (t)∣ dt
a
19