Skript

6.1 Die Umlaufzahl
Beweis: Sei c 1 = c 2 ∘ φ und φ die Parametertransformation. Es ergibt sich, dass
φ(t) = ±t + t 0 .
Hier haben wir die Eindeutigkeit der Parametriserung nach Bogenlänge ausgenutzt. Das Vorzeichen hängt
von der Orientierung ab, also ob diese entweder orientierungserhaltend oder orientierungsumkehrend ist.
Sei φ orientierungserhaltend, das heißt φ(t) + t 0 . Es ergibt sich, dass
c ′ 1(t) = c ′ 2(t + t 0 ) = (cos(Θ 2 (t + t 0 )), sin(Θ 2 (t + t 0 ))),
also Θ 1 = Θ 2 ∘ φ. Hierbei ist Θ 1 (t) = Θ 2 (t + t 0 ) und Θ 2 (t) = Θ 1 (t − t 0 ). Mit Θ 1 ist auch ˜Θ 1 eine
Winkelfunktion, für ˜Θ 1 (t) = Θ 1 (t + L), denn L ist die Periode der Kurve c. Es ergibt sich nun
n c2 − n c1 = 1
2π (Θ 2(L) − Θ 2 (0) − (Θ 1 (L) − Θ 1 (0)))
= 1
2π (Θ 1(L − t 0 ) − Θ 1 (t 0 ) − Θ 1 (L) + Θ 1 (0))
= 1
2π (( ˜Θ 1 (−t 0 ) − ˜Θ 1 (0)) − (Θ 1 (−t 0 ) − Θ 1 (0)))
= 0 ⇒ n c1 = n c2 .
Analog verfährt man im orientierungsumkehrenden Fall.
Die Frage, die wir nun klären wollen, ist Von welcher Form ist die Umlaufzahl? Wir wollen nun beweisen,
dass die Umlaufzahl immer eine ganze Zahl ist. Dies hängt mit der Winkelfunktion zusammen. Es ist
cos(Θ(L)) = cos(Θ(0)) und sin(Θ(L)) = sin(Θ(0)). Mit der Eulerschen Identität
e iΘ(L) = sin(Θ(L)) + i ⋅ cos(Θ(L))
erhalten wir
e iΘ(L) = e iΘ(0) ⇒ e i(Θ(L)−Θ(0)) = 1 ⇒ Θ(L) − Θ(0) ∈ 2πZ.
Demnach ist die Umlaufzahl immer eine ganze Zahl. Es ist relativ umständlich immer mit der Winkelfunktion
arbeiten zu müssen. Wir wollen daher einen Satz herleiten, der angibt, wie die Umlaufzahl noch
einfacher zu berechnen und zu bestimmen ist.
Satz 6.4 Sei c : R → R 2 eine nach Bogenlänge parametrisierte ebene periodische Kurve mit Periode L. Sei
k : R → R die Krümmung von c. Dann gilt
n c = 1
2π
∫ L
0
k(t) dt.
Beweis: Es sei c ′ (t) = (cos(Θ(t)), sin(Θ(t))). Man kann zeigen, dass
Θ ′ (t) = k(t). (6.1)
47