Skript

2.2 Einige Beispiele
Und da steht das Gewünschte L[˜c] = L[c].
Man kann also von der Länge einer Kurve sprechen, da die Länge parametrisierter Kurven nicht von
der speziellen Parametrisierung abhängt.
2.2 Einige Beispiele
Um die Länge einer Kurve c : [a, b] → R n im Intervall [a, b] zu berechnen, müssen wir also nur das
Integral L[c] = ∫ b
a ∣c′ (t)∣ dt berechnen. Schauen wir uns ein paar Beispiele an.
Beispiel:
Wir betrachten den Kreis c : [0, 2π] → R 2 , c(t) = (r cos(t), r sin(t)), wobei r der
Radius ist. Wir wollen die Länge der Kurve im Intervall [0, 2π] berechnen. Dazu benötigen wir
zunächst den Geschwindigkeitsvektor c ′ (t). Dieser ist gerade gegeben durch
c ′ (t) = (−r sin(t), r cos(t)) = r(− sin(t), cos(t)).
Dadurch ergibt sich die folgende Länge der Kurve:
∫ 2π
0
∣c ′ (t)∣ dt =
∫ 2π
0
∣(−r sin(t), r cos(t))∣ dt =
∫ 2π
0
√
r 2 (sin 2 (t) + cos 2 (t)) dt =
∫ 2π
0
r dt = 2πr.
Wir betrachten die Zykloide c : [0, 2π] → R 2 , c(t) := (t − sin(t), 1 − cos(t)). Wir berechnen die
Länge der Kurve im Intervall [0, 2π]. Zunächst ist c ′ (t) = (1 − cos(t), sin(t)), also
√
∣c ′ (t)∣ = ∣(1 − cos(t), sin(t))∣ = (1 − cos(t)) 2 + sin 2 (t)
√
= 1 − 2 cos(t) + cos 2 (t) + sin 2 (t) = √ 2(1 − cos(t)).
Die Länge der Kurve ist demnach gegeben durch
∫ 2π
0
∣c ′ (t)∣ dt =
∫ 2π
0
√
2(1 − cos(t)) dt = . . . = 8.
Nun aber endlich zu einem Beispiel einer Kurve, die nach Bogenlänge parametrisiert ist, und deren
Länge man auf einem bestimmten Intervall direkt ablesen kann.
Wir verwenden als Beispiel einfach den Einheitskreis c : R → R 2 , c(t) = (cos(t), sin(t)) und wollen
die Länge im Intervall [0, π] berechnen. Wir wissen, dass c(t) nach Bogenlänge parametrisiert
ist, denn
∣c ′ (t)∣ = ∣(− sin(t), cos(t))∣ =
√
sin 2 (t) + cos 2 (t) = 1.
Also folgt sofort
∫ π
∫ π
L[c] = ∣c ′ (t)∣ dt = dt = π.
0
0
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