Skript

1.4 Zusammenfassung wichtiger Begriffe
Bevor wir das Lemma richtig beweisen können, brauchen wir aber noch die Definition der Orientierung:
Definition 1.13 (Orientierung) Eine orientierte Kurve ist eine Äquivalenzklasse von parametrisierten
Kurven, wobei diese als äquivalent angesehen werden, wenn sie durch orientierungserhaltende Parametertransformationen
auseinander hervorgehen.
Jede orientierte Kurve bestimmt genau eine Kurve. Das bedeutet: Jede Kurve besitzt genau zwei Orientierungen.
1.4 Zusammenfassung wichtiger Begriffe
Wir haben nun eine Menge an neuen Begriffen und Sätzen gelernt. Wir wollen diese der Übersicht halber
nochmal zusammenfassen und zusammenstellen:
Parametrisierte Kurve: Eine parametrisierte Kurve ist eine Abbildung c : I → R n , wobei I ⊂ R ein
Intervall ist. Dabei ist c : I → R n unendlich oft differenzierbar ist.
Regulär parametrisierte Kurve: Eine Kurve c : I → R n heißt regulär, wenn c ′ (t) ∕= 0 ∀t ∈ I.
Geschwindigkeitsvektor: c ′ (t) = (c ′ 1 (t), . . . , c′ n(t)) ist der Tangentialvektor an die Kurve c : I → R n in
c(t) und wird auch als Geschwindigkeitsvektor zur Zeit t bezeichnet.
Parametertransformation und Umparametrisierung: Sei c : I ⊂ R → R n eine parametrisierte Kurve.
Eine Parametertransformation von c ist eine bijektive Abbildung φ : J → I, wobei J ⊂ R ein
weiteres Intervall ist, so dass sowohl φ : J → I als auch φ −1 : I → J unendlich oft differenzierbar
sind. Die parametrisierte Kurve ˜c := c ∘ φ : J → R n heißt Umparametrisierung von c.
Orientierungserhaltend und orientierungsumkehrend: Eine Parametertransformation φ heißt orientierungserhaltend,
falls φ ′ (t) > 0 ∀t und orientierungsumkehrend, falls φ ′ (t) < 0 ∀t.
Bogenlänge: Eine nach Bogenlänge parametrisierte
√
Kurve ist eine reguläre Kurve c : I ⊂ R → R n
mit ∣c ′ (t)∣ = 1 ∀t ∈ I. Dabei gilt ∣c ′ (t)∣ = (t) + . . . + c2′ n (t).
c 2′
1
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