Skript

6.2 Der Umlaufsatz von Hopf
Aus Gleichung (6.1) folgt nun, dass
Damit ist alles gezeigt.
n c = 1
1
(Θ(L) − Θ(0)) =
2π 2π
∫ L
0
Θ ′ (t) dt (6.1)
= 1
2π
∫ L
0
k(t) dt.
Zur Ergänzung und der Vollständigkeithalber zeigen wir nochmals Gleichung (6.1). Nach unserem
Lemma 6.2 schreiben wir
Differentation auf beiden Seiten liefert nun
c ′ (t) = (cos(Θ(t)), sin(Θ(t))).
c ′′ (t) = ( − sin(Θ(t))Θ ′ (t), cos(Θ(t))Θ ′ (t) ) .
Andererseits wissen wir aber aus der Krümmungsdefinition, dass c ′′ (t) = k(t) ⋅ n(t). Es ergibt sich daher
c ′′ (t) = k(t) ⋅ n(t) = k(t) ⋅ (− sin(Θ(t)), cos(Θ(t))) = (−k(t) sin(Θ(t)), k(t) cos(Θ(t)))
und folglich die Behauptung Θ ′ (t) = k(t).
6.2 Der Umlaufsatz von Hopf
In diesem Abschnitt geben wir einen wichtigen und interessanten Satz an, der etwas über die Umlaufzahjl
einer einfach geschlossenen Kurve sagt:
Satz 6.5 (Der Umlaufsatz von Hopf) Sei c : R → R 2 eine einfach geschlossene reguläre Kurve, das heißt
c hat eine periodische reguläre Parametrisierung mit Periode L und c ist auf dem Intervall [0, L) injektiv.
Eine einfache geschlossene ebene Kurve hat dann Umlaufzahl 1 oder −1.
Anschaulich ist der Satz klar, wie uns Abbildung 6.5 demonstriert. Wir bemerken: Eine geschlossene
Abbildung 6.5: Der Umlaufsatz von Hopf.
ebene Kurve muss also einen Selbstschnitt haben, falls sie mehr als zwei Umläufte hat, das heißt die
Umlaufzahl vom Betrag her muss größer oder gleich 2 sein. Um diesen Satz zu beweisen, müssen wir ein
wenig ausholen und ein paar Lemmata anführen, die wir zunächst beweisen wollen. Mit diesen gelingt es
uns dann aber nach harter Arbeit einen schönen Beweis des Umlaufsatzes von Hopf anzugeben.
48