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Inhaltsverzeichnis
1 Was ist eine Kurve? 4
1.1 Beispiele für Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Was ist eine Kurve? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Umparametrisierungen und Bogenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Zusammenfassung wichtiger Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Die Länge einer Kurve 14
2.1 Die Länge einer Kuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Einige Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Die Krümmung einer Kurve 21
3.1 Geschlossenheit von Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Krümmung ebener Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Krümmung räumlicher Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Krümmung im n-Dimensionalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Der Satz von Fenchel 30
4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2 Exkurs in die sphärische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.1 Großkreise - Die „Geraden“ auf der Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2.2 Großkreisbögen - Die „Strecken “ auf der Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2.3 Ein paar Begrifflichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Der Satz von Fenchel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4 Abschluss und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5 Jordan-Kurven und Mannigfaltigkeiten 39
5.1 Jordan-Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2 Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6 Der Umlaufsatz 44
6.1 Die Umlaufzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2 Der Umlaufsatz von Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Literaturverzeichnis 56
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