Skript

4.3 Der Satz von Fenchel
Abbildung 4.3: Der sphärischer Raum mit zwei Punkten.
4.2.3 Ein paar Begrifflichkeiten
Nun einige wichtige Begriffe, die für das Verständnis des Vortrages nützlich sein können.
Als Halbkugel bzw. Hemisphäre bezeichnet man allgemein die Hälfte einer Kugelschale oder eines Kugelkörpers.
Unter einer offenen bzw. abgeschlossenen Hemisphäre versteht man anschaulich die Kappen ohne
bzw. mit dem Äquator.
Unter einer Sphäre versteht man die Verallgemeinerung der Kugeloberfläche auf beliebig viele Dimensionen.
Definitionsgemäß besteht die Sphäre einer Kugel nur aus der verallgemeinerten Oberfläche.
Die n-dimensionale Sphäre (kurz n-Sphäre) ist die Oberfläche einer (n + 1)-dimensionalen Kugel. Sie
wird mit S n bezeichnet.
Die 1-Sphäre ist der Einheitskreis auf der Ebene.
Eine 2-Sphäre kann man sich zwar im 3-dimensionalen Raum vorstellen, ist jedoch (lokal) durch 2-
dimensionale Karten beschreibbar. Die 2-Sphäre ist einfach die gewöhnliche Kugeloberfläche im „Raum“.
4.3 Der Satz von Fenchel
Nun zum eigentlichen Satz. Zuvor ein paar Definitionen und Sätze.
Definition 4.1 (Totalkrümmung) Sei c : [a, b] −→ R 3 eine reguläre nach Bogenlänge parametrisierte
Raumkurve. Dann ist die Totalkrümmung von c definiert als
∫ L
k(c) ≥ k(s) ds
0
Hierbei ist L ≥ L[c] die Länge der Kurve von c.
Wenn wir den Begriff der sphärischen Kurve kennen, dann kann man sagen, dass die Totalkrümmung
nichts anderes als die Gesamtlänge einer sphärischen Kurve ist.
Ein paar Bemerkungen:
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