Skript

Kapitel 4
Der Satz von Fenchel
4.1 Einleitung
Um was soll es in diesem Kapitel gehen?
Das Kapitel wird sich ausschließlich mit dem Satz von Fenchel auseinander setzen, der angibt, wie stark
sich eine Raumkurve krümmen muss, um sich komplett zu schließen bzw., wie man einer Kurve ansehen
kann, ob sie in einer Ebene liegt oder nicht. Ziel ist es, diesen Satz zu beweisen.
Um den Beweis zu verstehen, wird es zunächst einen kleinen Exkurs in die sphärische Geometrie
geben, um einige Begrifflichkeiten bereitzustellen, die für das Verständnis der Definitionen und Lemmata
erforderlich sind. Danach werden wir zwei Lemmata beweisen, mit denen der Beweis des Satzes von
Fenchel sehr leicht ist. Abschließen werden wir selbstverständlich mit dem Beweis des Fenchel-Satz.
4.2 Exkurs in die sphärische Geometrie
Die sphärische Geometrie beschäfitigt sich mit der Geometrie der Kugel. Sie unterscheidet sich in einigen
Punkten stark von der ebenen euklidischen Geometrie. Sie erfüllt das Parallelenaxiom nicht, da sich zwei
Großkreise, das Analogon der Geraden auf einer Kugel, stets schneiden (siehe auch Abschnitt 4.2.1). Viele
aus der euklidischen Geometrie bekannten Sätze, sowohl der Satz über die Winkelsumme im Dreieck, als
auch der Satz des Pythagoras, haben auf einer Kugel keine Gültigkeit mehr.
Abbildung 4.1: Der sphärische Raum.
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