Skript

6.2 Der Umlaufsatz von Hopf
Wieso dürfen wir diese Einschränkung treffen? Ganz einfach: c : R → R 2 sei periodisch mit
Periode L uns sei c = (c 1 , c 2 ). Dann gelten die folgenden Aussagen
– Sei x 0 := max{c 1 (t) : t}. Das Maximum wird angenommen, da das Bild c(R) ⊂ R 2 kompakt
ist, denn Bilder kompakter Mengen sind wieder kompakt. Wem diese Begründung nicht
zusagt, der sei darauf verwiesen, dass wir es auch so begründen können: c : [0, L] → R 2 und
[0, L] sind kompakt.
– Sei L := {(x, y) ∈ R 2 : x = x 0 }. Die Gerade L schneidet die Kurve c in dem Punkt p.
– Sei G := {p + s(1, 0) : s ∈ R}. Auf der Geraden G liegen für s > 0 keine Punkte von c.
Abbildung 6.9: Die Gerade G.
– Die Parametertransformation und die euklidischen Bewegungen liefern:
* c(0) = (0, 0)
* c ′ (0) = (0, 1)
* c liegt links von der y-Achse.
Weiter im Beweis:
b) Sei X := {(t 1 , t 2 ) : 0 ≤ t 1 ≤ t 2 ≤ L}. X ist bezüglich (0, 0) sternförmig. Wir betrachten die
Abbildung 6.10: Die Menge X.
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