Skript

3.5 Zusammenfassung
Aus ∥ d
ds ˜c(s)∥ ∥ = 1 und Gleichung (3.2) folgt φ ′ 1
(s) =
∥c ′ (φ(s))∥
und daraus wiederum
φ ′′ (s) = − ⟨c′ (φ(s)), c ′′ (φ(s))⟩ ⋅ φ(s)
∥c ′ (φ(s))∥ 3
= − ⟨c′ (φ(s)), c ′′ (φ(s))⟩
∥c ′ (φ(s))∥ 4
Für das Krümmungsvektorfeld von ˜c ergibt sich daher mit Gleichung (3.3) und mit t := φ(s) die Gleichung
) (
˜k
(˜c(s), d2
ds 2 ˜c(s) 1
= c(t),
∥c ′ (t)∥ 2 c′′ (t) − ⟨c′ (t), c ′′ )
(t)⟩
∥c ′ (t)∥ 4 ⋅ c ′ (t)
Dies motiviert uns nun die Definition der Krümmung zu verallgemeinern:
Definition 3.10 Sei c : I → R n eine regulär parametrisierte Kurve. Das Krümmungsvektorfeld von c ist
die Abbildung
˜k : I → R n × R n ,
Zum Abschluss noch ein Beispiel.
) (
mit
(˜c(s), ˜k
d2
ds 2 ˜c(s) 1
= c(t),
∥c ′ (t)∥ 2 c′′ (t) − ⟨c′ (t), c ′′ )
(t)⟩
∥c ′ (t)∥ 4 ⋅ c ′ (t) .
Beispiel: Wir wollen das Krümmungsvektorfeld der logarithmischen Spirale
c : R → R 2 , c(t) = μe λt (cos(t), sin(t)), μ < 0 < λ
berechnen. Es gilt
(
)
c ′ (t) = μe λt λ − cos(t) − sin(t)
λ sin(t) + cos(t)
(
)
und c ′′ (t) = μe λt (λ 2 − 1) cos(t) − 2λ sin(t)
2λ cos(t) + (λ 2 .
− 1) sin(t)
Daraus folgt nun ∥c ′ (t)∥ = μ 2 (λ 2 + 1)e 2λt und ⟨c ′ (t), c ′′ (t)⟩ = μ 2 λ(λ 2 + 1)e 2λt . Also gilt
( )
(
))
˜k(t) =
(μe λt cos(t) e −λt − cos(t) − λ sin(t)
,
sin(t) μ(λ 2 .
+ 1) − sin(t) + λ cos(t)
Wir bemerken: Das Vektorfeld kann auch über die Formel
(
1
˜k(t) =
∥c ′ (t)∥ 2 c ′ (t), − ⟨c′ (t), c ′′ )
(t)⟩
∥c ′ (t)∥ 2 c ′ (t)
3.5 Zusammenfassung
Definition 3.11 (Normalenfeld) Sei c : I → R 2 eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Das Normalenfeld
ist definiert als
( )
0 −1
n(t) = ⋅ c ′ (t).
1 0
Definition 3.12 (Krümmung im R 2 ) Die Funktion k : I → R c ′′ (t) = k(t) ⋅ n(t) heißt Krümmung von
c.
Definition 3.13 (Krümmung im R 3 ) Sei c : I → R 3 eine räumliche, nach Bogenlänge parametrisierte
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