Skript

1.3 Umparametrisierungen und Bogenlänge
Sie repräsentieren daher dieselbe Kurve.
Nun zu einer wichtigen Definition.
Definition 1.7 (Bogenlänge) Eine nach Bogenlänge parametrisierte
√
Kurve ist eine reguläre Kurve c :
I ⊂ R → R n mit ∣c ′ (t)∣ = 1 ∀t ∈ I. Dabei gilt ∣c ′ (t)∣ = (t) + . . . + c2′ n (t).
Nach Bogenlänge parametrisierte Kurven werden also mit konstanter Geschwindigkeit 1 durchlaufen.
Welche Vorteile dies zum Beispiel bei der Berechnung der Länge von Kurven hat, werden wir im nächsten
Kapitel sehen.
Definition 1.8 (proportional parametrisiert) Eine proportional zur Bogenlänge parametrisierte Kurve
ist eine regulär parametrisierte Kurve c : I ⊂ R → R n , für die ∣c ′ (t)∣ = const. für alle t gilt.
Definition 1.9 (Spur) Wird eine Kurve durch eine regulär parametrisierte Kurve c : I ⊂ R → R n
repräsentiert, dann nennt man das Bild c(I) auch die Spur der Kurve.
Satz 1.10 Jede regulär parametrisierte Kurve lässt sich so umparametrisieren, dass die Umparametrisierung
nach Bogenlänge parametrisiert ist.
Diesen Satz lassen wir uns nochmal auf der Zunge zergehen: Jede regulär parametrisierte Kurve kann
nach Bogenlänge umparametrisiert werden. Das ist ein sehr nützlicher Satz, wie wir später auch noch
sehen werden. Man muss aber dazu sagen, dass es in der Realität nicht so leicht ist, die Umparametrisierungen
zu finden.
Wir formulieren den Satz etwas um und fragen nach der Existenz solcher Umparametrisierungen.
Satz 1.11 Zu jeder regulär parametrisierten Kurve c : I ⊂ R → R n gibt es eine orientierungserhaltende
Parametertransformation φ, so dass die Umparametrisierung c ∘ φ nach Bogenlänge parametrisiert ist.
Beweis: Sei c : I ⊂ R → R n regulär parametrisiert und t 0 ∈ I. Für den Beweis definieren wir ψ(s) :=
∫ s
t 0
∣c ′ (t)∣ dt. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ergibt sich nun ψ ′ (s) = ∣c ′ (s)∣ >
0. Das bedeutet wiederum, dass ψ streng monoton wachsend ist. Dies liefert, dass ψ : I → J := ψ(I)
eine orientierungserhaltende Parametertransformation ist. Wir setzen φ := ψ −1 : J → I. Unter Anwendung
der Kettenregel folgt:
Dies ergibt:
φ ′ (t) =
c 2′
1
1
ψ ′ (φ(t)) = 1
∣c ′ (φ(t))∣ .
∣˜c ′ (t)∣ = ∣(c ∘ φ) ′ (t)∣ = ∣c ′ (φ(t)) ⋅ φ ′ (t)∣ =
1
∣ c′ (φ(t)) ⋅
∣c ′ (φ(t))∣∣ = 1.
Also ist ˜c nach Bogenlänge parametrisiert.
Mit dem Satz 1.11 folgt die Existenz. Bleibt uns noch die Frage nach der Eindeutigkeiet zu klären:
Lemma 1.12 Sind c 1 : I 1 ⊂ R → R n und c 2 : I 2 ⊂ R → R n Parametrisierungen nach der Bogenlänge
derselben Kurve c, so ist die zugehörige Parametertransformation φ : I 1 → I 2 mit c 1 = c 2 ∘ φ von der
Form φ(t) = t + t 0 für ein t 0 ∈ R, falls c 1 und c 2 gleich orientiert sind. Falls c 1 und c 2 entgegengesetzt
orientiert sind, ist sie von der Form φ(t) = −t + t 0 .
Beweis: Siehe Übungsaufgabe 1.1.
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