Skript

6.3 Zusammenfassung
( )
−1
Analog erhält man Θ(L, L) − Θ(0, L) = π. Hier nutzt man aus, dass nicht im Bild
0
von t → e(t, L), da ( )
( )
−1
1
= e(t, L) ⇒ c(L) + μ .
0
0
Es ergibt sich nun
2πn c = π + π = 2π,
also n c = 1. Analog erhält man n c = −1, wenn man in die andere Richtung läuft. Damit ist auch der
Umlaufsatz von Hopf bewiesen.
6.3 Zusammenfassung
Definition 6.8 (Winkelfunktion) Θ : [a, b] → R mit c ′ (t) = (cos(Θ(t)), sin(Θ(t))) bezeichnet man als
Winkelfunktion.
Abbildung 6.11: Die Winkelfunktion.
Definition 6.9 (Die Umlaufzahl) Sei c : R → R 2 eine ebene nach Bogenlänge parametrisierte Kurve,
periodisch mit Periode L. Sei Θ : R → R die Tangentenwinkel-Funktion. Dann ist die Umlaufzahl der
Kurve c definiert durch
n c := 1 (Θ(L) − Θ(0)).
2π
Satz 6.10 (Einfachere Berechnung der Umlaufzahl) Sei c : R → R 2 eine nach Bogenlänge parametrisierte
ebene periodische Kurve mit Periode L. Sei k : R → R die Krümmung von c. Dann gilt
n c = 1
2π
∫ L
0
k(t) dt.
Satz 6.11 (Wichtige Ergebnisse zur Umlaufzahl) Für die Umlaufzahl n c hatten wir gezeigt:
n c ist unabhängig (bis auf das Vorzeichen) von der Parametrisierung.
n c ist ganzzahlig, das heißt n c ∈ Z.
n c = 1
2π
∫ L
0 k(t) dt. 54