Handout zum 1. Vortrag

Harmonische Abbildungen zwischen Riemannschen
Flächen - Eine Einführung
Florian Modler
11. März 2010
Handout
1 Was sind Riemannsche Flächen?
Definition (Holomorpher Atlas, Karten, Kartenwechsel): Ein holomorpher Atlas
A = (U i , h i ) auf einem topologischen Raum X besteht aus einer Überdeckung von X durch
offene Mengen U i ⊂ X und Homöomorphismen h i : U i → h i (U i ) ⊂ C, die im folgenden Sinne
holomorph verträglich sind: Die Bilder h i (U i ) sind offen in C, und für jedes Parr i, j ist
h j ∘ h −1
i
: h i (U i ∩ U j ) → h j (U i ∩ U j ) (1)
biholomorph. Siehe dazu auch die Abbildung 1. Man nennt die Pare (U i , h i ) Karten von A und
die Abbildungen aus Gleichung (1) Kartenwechsel.
h i (U i )
h i
U i
U j
h j ◦h −1
i
h j
h j (U j )
Abbildung 1: Zwei Karten (U i , h i ), (U j , h j ) und ihre Kartenwechsel h j ∘ h −1
i
.
Definition (holomorphe Funktion): Sei U ⊂ X offen. Eine Funktion f : U → C heißt
holomorph bezüglich des Atlas A, wenn für jede Karte (U j , h j ) ∈ A die Funktion
h j (U ∩ U j ) → C, z → f ∘ h −1
j
(z)
holomorph ist. Wenn U ⊂ U k liegt, genügt wegen der Biholomorphie der Kartenwechsel, dass
f ∘ h −1
k
auf h k (U) holomorph ist.
Definition (Äquivalente Atlanten, holomorphe Struktur, maximaler Atlas): Zwei
Atlanten A und B für X heißen äquivalent, wenn A ∪ B ein holomorpher Atlas ist, das heißt
wenn für je zwei Karten h aus A und k aus B der Kartenwechsel h ∘ k −1 biholomorph ist. Eine
Äquivalenzklasse holomorpher Atlanten heißt holomorphe Struktur auf X. Die Vereinigung
aller Atlanten einer holomorphen Struktur heißt maximaler Atlas.
Definition (Riemannsche Fläche): Eine Riemannsche Fläche ist ein Hausdorffraum
X zusammen mit einer holomorphen Struktur auf X.
1

Definition (Riemannsche Metriken auf Riemannschen Flächen): Eine konforme
Riemannsche Metrik auf einer Riemannschen Fläche Σ ist in lokalen Koordinaten gegeben
durch
λ 2 dz ⊗ dz, λ(z) > 0.
Dabei nehmen wir an, dass λ ∈ C ∞ . Falls w → z(w) eine Transformation von lokalen Koordinaten
ist, dann sollte sich die Metrik in
λ 2 (z) ∂z ∂z
dw ⊗ dw
∂w ∂w
∂
transformieren. Hierbei ist w = u + i ⋅ v,
∂w = 1 ( ∂
2 ∂u − i ⋅ ∂ )
∂v ,
∂
∂w = 1 ( ∂
2 ∂u + i ⋅ ∂ )
∂v .
2 Harmonische Abbildungen zwischen Riemannschen Flächen
Seien Σ 1 und Σ 2 zwei Riemannsche Flächen. Σ 2 soll eine Metrik tragen, die sich in lokalen
Koordinaten schreiben lässt als
ρ 2 du ⊗ du.
Sei z = x + i ⋅ y ein lokal konformer Parameter von Σ 1 und sei
eine Abbildung, die zunächst nur C 1 sein soll.
u : Σ 1 → Σ 2
Definition (Energie): Wir definieren die Energie von u durch
∫
E(u) := ρ 2 (u)(u z u z + u z u z ) i
Σ 1
2 dzdz
= 1 ∫
ρ 2 (u(z))(u x u x + u y u y )dxdy.
2 Σ 1
Hierbei ist u z := 1 2 (u x − i ⋅ u y , u z := 1 2 (u x + i ⋅ u y ), . . .
Definition (Harmonische Abbildung): Eine Abbildung u ∈ C 2 (Σ 1 , Σ 2 ) heißt harmonisch,
falls sie
u zz + 2ρ u
ρ u zu z = 0 (2)
erfüllt.
Definition (schwach harmonisch): Wir nennen eine Abbildung u ∈ C 0 ∩ W 1,2 (Σ 1 , Σ 2 )
schwach harmonisch, falls für alle ψ ∈ C 0 ∩ W 1,2 (Σ 1 , Σ 2 )
∫ (
u z ψ z − 2ρ )
u
ρ u zu z ψ idzdz = 0. (3)
gilt.
Satz: Ist u ∈ C 0 ∩ W 1,2 (Σ 1 , Σ 2 ) ein Minimum für E, dann ist u schwach harmonisch. Ist
u ∈ C 2 ein Minimum von E, so ist u harmonisch.
Lemma: Gleichungen (2) und (3) sind unter Wechsel des koformen Parameters auf Σ 1
invariant. Ist u : Σ 1 → Σ 2 harmonisch und k : Σ ′ 1 → Σ 1 konform, so ist u ∘ k : Σ ′ 1 → Σ 2
harmonisch. Ähnliches gilt für schwach harmonische Abbildungen. Insbesondere sind konforme
Abbildung harmonisch.
Anmerkung: Ist u : Σ 1 → Σ 2 harmonisch und h : Σ 2 → Σ ′ 2 konform, so muss h ∘ u nicht
notwendigerweise harmonisch sein.
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