Handout zum 1. Vortrag

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Handout zum 1. Vortrag

Harmonische Abbildungen zwischen Riemannschen

Flächen - Eine Einführung

Florian Modler

11. März 2010

Handout

1 Was sind Riemannsche Flächen?

Definition (Holomorpher Atlas, Karten, Kartenwechsel): Ein holomorpher Atlas

A = (U i , h i ) auf einem topologischen Raum X besteht aus einer Überdeckung von X durch

offene Mengen U i ⊂ X und Homöomorphismen h i : U i → h i (U i ) ⊂ C, die im folgenden Sinne

holomorph verträglich sind: Die Bilder h i (U i ) sind offen in C, und für jedes Parr i, j ist

h j ∘ h −1

i

: h i (U i ∩ U j ) → h j (U i ∩ U j ) (1)

biholomorph. Siehe dazu auch die Abbildung 1. Man nennt die Pare (U i , h i ) Karten von A und

die Abbildungen aus Gleichung (1) Kartenwechsel.

h i (U i )

h i

U i

U j

h j ◦h −1

i

h j

h j (U j )

Abbildung 1: Zwei Karten (U i , h i ), (U j , h j ) und ihre Kartenwechsel h j ∘ h −1

i

.

Definition (holomorphe Funktion): Sei U ⊂ X offen. Eine Funktion f : U → C heißt

holomorph bezüglich des Atlas A, wenn für jede Karte (U j , h j ) ∈ A die Funktion

h j (U ∩ U j ) → C, z → f ∘ h −1

j

(z)

holomorph ist. Wenn U ⊂ U k liegt, genügt wegen der Biholomorphie der Kartenwechsel, dass

f ∘ h −1

k

auf h k (U) holomorph ist.

Definition (Äquivalente Atlanten, holomorphe Struktur, maximaler Atlas): Zwei

Atlanten A und B für X heißen äquivalent, wenn A ∪ B ein holomorpher Atlas ist, das heißt

wenn für je zwei Karten h aus A und k aus B der Kartenwechsel h ∘ k −1 biholomorph ist. Eine

Äquivalenzklasse holomorpher Atlanten heißt holomorphe Struktur auf X. Die Vereinigung

aller Atlanten einer holomorphen Struktur heißt maximaler Atlas.

Definition (Riemannsche Fläche): Eine Riemannsche Fläche ist ein Hausdorffraum

X zusammen mit einer holomorphen Struktur auf X.

1


Definition (Riemannsche Metriken auf Riemannschen Flächen): Eine konforme

Riemannsche Metrik auf einer Riemannschen Fläche Σ ist in lokalen Koordinaten gegeben

durch

λ 2 dz ⊗ dz, λ(z) > 0.

Dabei nehmen wir an, dass λ ∈ C ∞ . Falls w → z(w) eine Transformation von lokalen Koordinaten

ist, dann sollte sich die Metrik in

λ 2 (z) ∂z ∂z

dw ⊗ dw

∂w ∂w


transformieren. Hierbei ist w = u + i ⋅ v,

∂w = 1 ( ∂

2 ∂u − i ⋅ ∂ )

∂v ,


∂w = 1 ( ∂

2 ∂u + i ⋅ ∂ )

∂v .

2 Harmonische Abbildungen zwischen Riemannschen Flächen

Seien Σ 1 und Σ 2 zwei Riemannsche Flächen. Σ 2 soll eine Metrik tragen, die sich in lokalen

Koordinaten schreiben lässt als

ρ 2 du ⊗ du.

Sei z = x + i ⋅ y ein lokal konformer Parameter von Σ 1 und sei

eine Abbildung, die zunächst nur C 1 sein soll.

u : Σ 1 → Σ 2

Definition (Energie): Wir definieren die Energie von u durch


E(u) := ρ 2 (u)(u z u z + u z u z ) i

Σ 1

2 dzdz

= 1 ∫

ρ 2 (u(z))(u x u x + u y u y )dxdy.

2 Σ 1

Hierbei ist u z := 1 2 (u x − i ⋅ u y , u z := 1 2 (u x + i ⋅ u y ), . . .

Definition (Harmonische Abbildung): Eine Abbildung u ∈ C 2 (Σ 1 , Σ 2 ) heißt harmonisch,

falls sie

u zz + 2ρ u

ρ u zu z = 0 (2)

erfüllt.

Definition (schwach harmonisch): Wir nennen eine Abbildung u ∈ C 0 ∩ W 1,2 (Σ 1 , Σ 2 )

schwach harmonisch, falls für alle ψ ∈ C 0 ∩ W 1,2 (Σ 1 , Σ 2 )

∫ (

u z ψ z − 2ρ )

u

ρ u zu z ψ idzdz = 0. (3)

gilt.

Satz: Ist u ∈ C 0 ∩ W 1,2 (Σ 1 , Σ 2 ) ein Minimum für E, dann ist u schwach harmonisch. Ist

u ∈ C 2 ein Minimum von E, so ist u harmonisch.

Lemma: Gleichungen (2) und (3) sind unter Wechsel des koformen Parameters auf Σ 1

invariant. Ist u : Σ 1 → Σ 2 harmonisch und k : Σ ′ 1 → Σ 1 konform, so ist u ∘ k : Σ ′ 1 → Σ 2

harmonisch. Ähnliches gilt für schwach harmonische Abbildungen. Insbesondere sind konforme

Abbildung harmonisch.

Anmerkung: Ist u : Σ 1 → Σ 2 harmonisch und h : Σ 2 → Σ ′ 2 konform, so muss h ∘ u nicht

notwendigerweise harmonisch sein.

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