Determinanten
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1<br />
Quadratische Matrizen, Autor: Florian Modler<br />
(florian.modler@stud.uni-hannover.de, http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/)<br />
<strong>Determinanten</strong><br />
Ein wichtiges Hilfsmittel der linearen Algebra<br />
Florian Modler<br />
09.02.2008<br />
In diesem Artikel wollen wir aufzeigen, was man unter der Determinante einer Matrix versteht, wie<br />
sie definiert ist und wie man von verschiedenen quadratischen Matrizen die Determinante einfach<br />
berechnen kann.<br />
Stand: 9. Februar 2008
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Quadratische Matrizen, Autor: Florian Modler<br />
(florian.modler@stud.uni-hannover.de, http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/)<br />
Inhaltsverzeichnis:<br />
§0 Vorwort<br />
§1 <strong>Determinanten</strong><br />
1.1 Definition einer Determinante<br />
1.2 Wie wirken sich Zeilenoperationen auf die Determinante aus?<br />
1.3 Wichtige Sätze im Umfeld mit <strong>Determinanten</strong><br />
1.4 Wie berechnet man <strong>Determinanten</strong> spezieller Matrizen aus?<br />
1.5 Ausblick: Anwendung von <strong>Determinanten</strong><br />
Stand: 9. Februar 2008
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Quadratische Matrizen, Autor: Florian Modler<br />
(florian.modler@stud.uni-hannover.de, http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/)<br />
§0 Vorwort<br />
Die Determinante ist ein sehr mächtiges Werkzeug der linearen Algebra, wie ihr im Laufe<br />
eures Studiums noch feststellen werdet.<br />
Sei es, um entscheiden zu können, ob eine Matrix invertierbar ist, oder um zu entscheiden,<br />
ob Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind, oder um einfach das<br />
charakteristische Polynom beim Diagonalisieren einer Matrix (siehe auch den Artikel zum<br />
Diagonalisieren) zu berechnen.<br />
Es ist sehr wichtig, dass man diesen Stoff verstanden hat.<br />
Stand: 9. Februar 2008
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Quadratische Matrizen, Autor: Florian Modler<br />
(florian.modler@stud.uni-hannover.de, http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/)<br />
§1 Determinante<br />
1.1 Definition einer Determinante<br />
Definition einer Determinante:<br />
Sei K ein Körper und n ∈ N . Eine Determinante vom Rang n ist eine Abbildung<br />
det : M ( K)<br />
→ K . (Jeder quadratischen Matrix wird also ein Körperelement zugeordnet.)<br />
n,<br />
n<br />
(D1) Die Determinante ist linear in den Spalten, das heißt ,..., n<br />
v1 v ∈ K und K ∈ {1,..., n}<br />
,<br />
n<br />
t<br />
dann ist v ∈ K ֏ det( v1<br />
| ...| v<br />
| ...| vn)<br />
K-linear und da det( A ) = det( A)<br />
gilt, ist die<br />
k −te<br />
Stelle<br />
Determinante auch linear in den Zeilen.<br />
(D2) Die Determinante ist alternierend, das heißt wenn v = v , i ≠ j , dann ist<br />
det( A) = det( v1<br />
| ...| v n<br />
) . (D.h. sind zwei Spalten der Matrix identisch, so ist die<br />
Determinante 0)<br />
(D3) Die Determinante ist normiert, das heißt det( E<br />
n) = 1 .<br />
1.2 Wie wirken sich Zeilenoperationen auf die Determinante aus?<br />
Sei det : M<br />
n,<br />
n( K)<br />
→ K eine Determinante.<br />
Seien ,..., n<br />
v1 vn<br />
∈ K und A eine Matrix A: = ( v1<br />
| ...| v n<br />
) . Dann gilt folgendes für elementare<br />
Spaltenumformungen:<br />
a) ∀λ ∈ K, i ∈ {1,..., n} gilt det( v1<br />
| ...| λv | ...| ) det( )<br />
i<br />
vn<br />
= λ A<br />
i−te<br />
Stelle<br />
b) ∀λ<br />
∈ K,1 ≤ i < i ≤ n : det( v1<br />
| ...| vi + λv j<br />
| ...| vn<br />
) = det( A)<br />
<br />
i−te<br />
Stelle<br />
c) ∀1 ≤ i < i ≤ n : det(...| v<br />
j<br />
|...| v | ...) det( )<br />
i<br />
= − A<br />
i−te<br />
Stelle<br />
j−te<br />
Stelle<br />
Was bedeutet das?<br />
a) Multipliziert man eine Zeile der Matrix mit λ , dann muss die Determinante auch mit λ<br />
multiplizieren.<br />
b) Addiert man zu einer Zeile der Matrix das λ -fache einer anderen Zeile, so verändert sich<br />
die Determinante nicht. (Gleiches gilt für Spalten)<br />
c) Vertauscht man Zeilen der Matrix, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante.<br />
i<br />
j<br />
n<br />
Stand: 9. Februar 2008
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Quadratische Matrizen, Autor: Florian Modler<br />
(florian.modler@stud.uni-hannover.de, http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/)<br />
1.3 Wichtige Sätze im Umfeld der <strong>Determinanten</strong><br />
(1) A∈ M<br />
,<br />
( K) ist invertierbar ⇔ det( A) ≠ 0<br />
n n<br />
(2) Die <strong>Determinanten</strong> sind multiplikativ, d.h. det( AB) = det( A)det( B)<br />
.<br />
t<br />
(3) Die <strong>Determinanten</strong> sind symmetrisch, d.h. det( A ) = det( A)<br />
.<br />
(4) Die <strong>Determinanten</strong> sind linear in den Zeilen (folgt direkt aus (3))<br />
(5) Ist R ⊆ K ein Unterring, A∈ M<br />
,<br />
( K)<br />
, so gilt det( A)<br />
∈ R .<br />
n n<br />
Diese Sätze werden wir hier nicht beweisen, sondern verweisen auf die Vorlesung.<br />
1.4 Wie berechnet man <strong>Determinanten</strong> spezieller Matrizen aus?<br />
Genau wie nur quadratische Matrizen invertiert werden können, können auch nur von<br />
quadratischen Matrizen die Determinante berechnet werden. Diese ist dabei eindeutig<br />
bestimmt, d.h. es existiert nur eine Determinante einer quadratischen Matrix. Nicht so<br />
eindeutig ist die Existenz, denn eine Matrix braucht nicht unbedingt eine Determinante zu<br />
besitzen.<br />
Berechnung für n=1:<br />
Wenn n=1, dann besitzt die Matrix nur einen Eintrag und genau dieser Eintrag ist dann die<br />
Determinante.<br />
Berechnung für n=2:<br />
⎛ a b ⎞<br />
Sei A = ⎜ ⎟ eine Matrix. Dann ist det( A)<br />
ad bc<br />
⎝ c d ⎠ = − .<br />
Berechnung für n=3:<br />
• Regel von Sarrus:<br />
Sei<br />
⎛ a d g ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
A = b e h<br />
eine Matrix.<br />
⎜ c f i ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
a d g a d<br />
Dann gilt b e h b e ⇒ det( A)<br />
= aei + dhc + gbf − ceg − fha − ibd .<br />
c f i c f<br />
• Matrix in obere Dreiecksform bringen<br />
Man bringt die Matrix in obere Dreiecksform. Dabei muss man sich notieren, welche<br />
Zeilenoperationen man durchgeführt. So ändert sich mit „Wie wirken elementare<br />
Zeilenoperationen auf die Determinante?“ entsprechend die Determinante. Hat die Matrix<br />
dann obere Dreiecksform, so kann man die Diagonaleinträge multiplizieren und bekommt<br />
(mit den „Korrekturen“) die Determinante der Matrix.<br />
Stand: 9. Februar 2008
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Quadratische Matrizen, Autor: Florian Modler<br />
(florian.modler@stud.uni-hannover.de, http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/)<br />
Berechnung für n>3:<br />
Für n>3 gibt es noch Formeln wie die Leibniz-Formel oder eine Entwicklungsformel.<br />
Beispiel:<br />
⎛ 1 0 1⎞<br />
⎜ ⎟<br />
Sei A = 2 3 1<br />
eine Matrix.<br />
⎜ 1 2 2⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Wir berechnen die Determinante durch Spaltenoperationen:<br />
1 0 1 −1 −2 1 5 −2 1<br />
det( A) = det 2 3 1 = −det −3 − 1 2 = −det 0 − 1 2 = 5<br />
1 2 2 0 0 1 0 0 1<br />
Berechnung der Determinante derselben Matrix mittels Zeilenoperationen:<br />
1 0 1 1 0 1 1 0 1<br />
det( A ) = det 2 3 1 = det 0 3 − 1 = det 0 3 − 1 = 5<br />
1 2 2 0 2 1 0 0 5 3<br />
Nun noch einmal mit der Regel von Sarrus:<br />
1 0 1 1 0<br />
2 3 1 2 3 ⇒ det( A) = 6 + 4 − 3− 2 = 5<br />
1 2 2 1 2<br />
In allen Fällen erhalten wir dasselbe Ergebnis.<br />
Genau genommen gibt der Entwicklungssatz nur ein Verfahren an, die Summanden der<br />
Leibniz-Formel in einer bestimmten Reihenfolge zu berechnen. Dabei wird die Determinante<br />
bei jeder Anwendung um eine Dimension reduziert. Falls gewünscht, kann das Verfahren so<br />
lange angewandt werden, bis sich ein Skalar ergibt. Der Laplace’sche Entwicklungssatz ist bei<br />
kleinen Matrizen und Matrizen mit vielen Nullen sehr effizient. Ein Beispiel ist<br />
(Entwicklung nach der ersten Zeile)<br />
Stand: 9. Februar 2008
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Quadratische Matrizen, Autor: Florian Modler<br />
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1.5 Ausblick: Anwendung von <strong>Determinanten</strong><br />
<strong>Determinanten</strong> werden in der linearen Algebra sehr oft angewendet. Wir wollen kurz drei<br />
Beispiele anführen:<br />
• Ist folgende Matrix invertierbar?<br />
⎛1 3 4⎞<br />
⎜ ⎟<br />
Wir wollen untersuchen, ob A: = 2 −6 2<br />
invertierbar ist. Dazu könnten wir natürlich<br />
⎜ 4 2 1⎟<br />
⎝ ⎠<br />
den altbekannten Algorithmus anwenden (siehe Artikel „Invertierbare Matrizen“) oder aber<br />
auch die Determinante z.B. mit der Regel von Sarrus berechnen:<br />
⎛ 1 3 4⎞<br />
1 3 4<br />
⎜ ⎟<br />
det A = det 2 − 6 2 = 2 − 6 2 = − 6 + 24 + 16 + 96 − 4 − 6 = 120<br />
⎜ 4 2 1⎟<br />
⎝ ⎠ 4 2 1<br />
Also ist det A = 120 ≠ 0 . Folglich ist die Matrix invertierbar.<br />
⎛1 3 2⎞<br />
⎜ ⎟<br />
Untersuchen wir nun, ob die Matrix B : = 2 −6 4<br />
invertierbar ist.<br />
⎜ 4 2 8⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ 1 3 2⎞<br />
1 3 2<br />
⎜ ⎟<br />
det B = det 2 − 6 4 = 2 − 6 4 = − 48 + 48 + 8 + 48 −8 − 48 = 0<br />
⎜ 4 2 8⎟<br />
⎝ ⎠ 4 2 8<br />
Die Determinante ist Null, folglich hat die Matrix nicht vollen Rang und ist damit nicht<br />
invertierbar. (Man hätte dies auch gleich sehen können, die da erste und dritte Spalte sich<br />
nur um ein Vielfaches unterscheiden und damit linear abhängig sind.)<br />
Wir haben also mit einfacher und kurzer Rechnung gezeigt, dass die Matrix nicht invertierbar<br />
sein kann und damit brauchen wir den sehr schreiblastigen Algorithmus zur Bestimmung der<br />
Inversen einer Matrix erst gar nicht anwenden.<br />
• Vektoren auf lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit untersuchen<br />
Es ist durchaus möglich mittels <strong>Determinanten</strong> gewisse Vektoren auf lineare Abhängigkeit<br />
bzw. Unabhängigkeit zu untersuchen. Dies geht aber nur für ganz bestimmte Vektoren. D.h.<br />
die Anzahl der zu untersuchenden Vektoren und deren Zeilenanzahlen (bzw.<br />
Spaltenanzahlen, je nachdem wie man die Vektoren aufschreibt) müssen übereinstimmen.<br />
⎛1 ⎞ ⎛3 ⎞ ⎛ 4⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
Untersuchen wir also z.B. die Vektoren v1 : = 2 , v2 : = − 6 , v3<br />
: =<br />
2<br />
auf lineare<br />
⎜ 4⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜1<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Abhängigkeit. Was wir sonst machen würden ist, dass LGS λ1v 1<br />
+ λ2v2 + λ3v3 = 0 zu lösen und<br />
Stand: 9. Februar 2008
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Quadratische Matrizen, Autor: Florian Modler<br />
(florian.modler@stud.uni-hannover.de, http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/)<br />
zu zeigen, dass λ1 = λ2 = λ3 = 0 oder eben nicht. Das ist doch aber gleichbedeutend damit zu<br />
untersuchen, ob die Matrix mit den Einträgen der Vektoren in den Spalten irgendwo eine<br />
Nullzeile besitzt (ist das der Fall, so sind die Vektoren linear abhängig). Das ist doch aber<br />
gleichbedeutend mit der Frage, ob die Matrix invertierbar ist oder nicht. Und dies wiederum<br />
bedeutet, man muss die Determinante dieser Matrix berechnen. Ist diese Null, so hatte die<br />
Matrix nicht vollen Rang (irgendwo taucht eine Nullzeile auf) und folglich sind die Vektoren<br />
linear abhängig. Ist die Determinante nicht Null, so hatte die Matrix vollen Rang und die<br />
Vektoren sind linear abhängig, da aus λ1v 1<br />
+ λ2v2 + λ3v3 = 0 folgen würde, dass<br />
λ1 = λ2 = λ3 = 0 .<br />
Wie gesagt: Wichtig ist, die obige Bemerkung, auf welche Vektoren wir dies nur anwenden<br />
können!<br />
Probieren wir es aus:<br />
⎛1 3 4⎞<br />
⎜ ⎟<br />
Es muss die Determinante der Matrix A: = 2 −6 2<br />
berechnet werden. Dies haben wir<br />
⎜ 4 2 1⎟<br />
⎝ ⎠<br />
oben schon gemacht, sie lautete det A = 120 ≠ 0 . Folglich sind die Vektoren<br />
⎛1 ⎞ ⎛3 ⎞ ⎛ 4⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
v1 : = 2 , v2 : = − 6 , v3<br />
: =<br />
2<br />
linear abhängig.<br />
⎜ 4⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜1<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎛1 ⎞ ⎛3 ⎞ ⎛ 2⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
Ein weiteres Beispiel. Sind die Vektoren v1 : = 2 , v2 : = − 6 , v3<br />
: =<br />
4<br />
⎜ 4⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜8<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
linear unabhängig?<br />
linear abhängig oder<br />
(Ja, einige werden es schon sehen, Vektor v 3 ist ein Vielfaches des Vektors v 1 , also müssen<br />
die Vektoren linear abhängig sein. Ihr habt Recht, aber machen wir es dennoch nochmal<br />
mittels der Determinante):<br />
⎛1 3 2⎞<br />
⎜ ⎟<br />
Wir müssen die Determinante von der Matrix B : = 2 −6 4<br />
berechnen.<br />
⎜ 4 2 8⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Auch das haben wir oben schon getan. Sie lautete det B = 0 . Folglich sind die Vektoren<br />
linear abhängig.<br />
• Charakteristisches Polynom<br />
Um eine weitere Anwendung der Determinante kennenzulernen, lest doch den Artikel<br />
„Diagonalisieren“. Wir führen das hier nicht extra auf, sondern merken nur an, dass das<br />
charakteristische Polynom einer Matrix A mit P = det( A − x • E ) definiert ist.<br />
A<br />
n<br />
Stand: 9. Februar 2008