Determinanten

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Determinanten

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Quadratische Matrizen, Autor: Florian Modler

(florian.modler@stud.uni-hannover.de, http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/)

Determinanten

Ein wichtiges Hilfsmittel der linearen Algebra

Florian Modler

09.02.2008

In diesem Artikel wollen wir aufzeigen, was man unter der Determinante einer Matrix versteht, wie

sie definiert ist und wie man von verschiedenen quadratischen Matrizen die Determinante einfach

berechnen kann.

Stand: 9. Februar 2008


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Quadratische Matrizen, Autor: Florian Modler

(florian.modler@stud.uni-hannover.de, http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/)

Inhaltsverzeichnis:

§0 Vorwort

§1 Determinanten

1.1 Definition einer Determinante

1.2 Wie wirken sich Zeilenoperationen auf die Determinante aus?

1.3 Wichtige Sätze im Umfeld mit Determinanten

1.4 Wie berechnet man Determinanten spezieller Matrizen aus?

1.5 Ausblick: Anwendung von Determinanten

Stand: 9. Februar 2008


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Quadratische Matrizen, Autor: Florian Modler

(florian.modler@stud.uni-hannover.de, http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/)

§0 Vorwort

Die Determinante ist ein sehr mächtiges Werkzeug der linearen Algebra, wie ihr im Laufe

eures Studiums noch feststellen werdet.

Sei es, um entscheiden zu können, ob eine Matrix invertierbar ist, oder um zu entscheiden,

ob Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind, oder um einfach das

charakteristische Polynom beim Diagonalisieren einer Matrix (siehe auch den Artikel zum

Diagonalisieren) zu berechnen.

Es ist sehr wichtig, dass man diesen Stoff verstanden hat.

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Quadratische Matrizen, Autor: Florian Modler

(florian.modler@stud.uni-hannover.de, http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/)

§1 Determinante

1.1 Definition einer Determinante

Definition einer Determinante:

Sei K ein Körper und n ∈ N . Eine Determinante vom Rang n ist eine Abbildung

det : M ( K)

→ K . (Jeder quadratischen Matrix wird also ein Körperelement zugeordnet.)

n,

n

(D1) Die Determinante ist linear in den Spalten, das heißt ,..., n

v1 v ∈ K und K ∈ {1,..., n}

,

n

t

dann ist v ∈ K ֏ det( v1

| ...| v

| ...| vn)

K-linear und da det( A ) = det( A)

gilt, ist die

k −te

Stelle

Determinante auch linear in den Zeilen.

(D2) Die Determinante ist alternierend, das heißt wenn v = v , i ≠ j , dann ist

det( A) = det( v1

| ...| v n

) . (D.h. sind zwei Spalten der Matrix identisch, so ist die

Determinante 0)

(D3) Die Determinante ist normiert, das heißt det( E

n) = 1 .

1.2 Wie wirken sich Zeilenoperationen auf die Determinante aus?

Sei det : M

n,

n( K)

→ K eine Determinante.

Seien ,..., n

v1 vn

∈ K und A eine Matrix A: = ( v1

| ...| v n

) . Dann gilt folgendes für elementare

Spaltenumformungen:

a) ∀λ ∈ K, i ∈ {1,..., n} gilt det( v1

| ...| λv | ...| ) det( )

i

vn

= λ A

i−te

Stelle

b) ∀λ

∈ K,1 ≤ i < i ≤ n : det( v1

| ...| vi + λv j

| ...| vn

) = det( A)


i−te

Stelle

c) ∀1 ≤ i < i ≤ n : det(...| v

j

|...| v | ...) det( )

i

= − A

i−te

Stelle

j−te

Stelle

Was bedeutet das?

a) Multipliziert man eine Zeile der Matrix mit λ , dann muss die Determinante auch mit λ

multiplizieren.

b) Addiert man zu einer Zeile der Matrix das λ -fache einer anderen Zeile, so verändert sich

die Determinante nicht. (Gleiches gilt für Spalten)

c) Vertauscht man Zeilen der Matrix, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante.

i

j

n

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1.3 Wichtige Sätze im Umfeld der Determinanten

(1) A∈ M

,

( K) ist invertierbar ⇔ det( A) ≠ 0

n n

(2) Die Determinanten sind multiplikativ, d.h. det( AB) = det( A)det( B)

.

t

(3) Die Determinanten sind symmetrisch, d.h. det( A ) = det( A)

.

(4) Die Determinanten sind linear in den Zeilen (folgt direkt aus (3))

(5) Ist R ⊆ K ein Unterring, A∈ M

,

( K)

, so gilt det( A)

∈ R .

n n

Diese Sätze werden wir hier nicht beweisen, sondern verweisen auf die Vorlesung.

1.4 Wie berechnet man Determinanten spezieller Matrizen aus?

Genau wie nur quadratische Matrizen invertiert werden können, können auch nur von

quadratischen Matrizen die Determinante berechnet werden. Diese ist dabei eindeutig

bestimmt, d.h. es existiert nur eine Determinante einer quadratischen Matrix. Nicht so

eindeutig ist die Existenz, denn eine Matrix braucht nicht unbedingt eine Determinante zu

besitzen.

Berechnung für n=1:

Wenn n=1, dann besitzt die Matrix nur einen Eintrag und genau dieser Eintrag ist dann die

Determinante.

Berechnung für n=2:

⎛ a b ⎞

Sei A = ⎜ ⎟ eine Matrix. Dann ist det( A)

ad bc

⎝ c d ⎠ = − .

Berechnung für n=3:

• Regel von Sarrus:

Sei

⎛ a d g ⎞

⎜ ⎟

A = b e h

eine Matrix.

⎜ c f i ⎟

⎝ ⎠

a d g a d

Dann gilt b e h b e ⇒ det( A)

= aei + dhc + gbf − ceg − fha − ibd .

c f i c f

• Matrix in obere Dreiecksform bringen

Man bringt die Matrix in obere Dreiecksform. Dabei muss man sich notieren, welche

Zeilenoperationen man durchgeführt. So ändert sich mit „Wie wirken elementare

Zeilenoperationen auf die Determinante?“ entsprechend die Determinante. Hat die Matrix

dann obere Dreiecksform, so kann man die Diagonaleinträge multiplizieren und bekommt

(mit den „Korrekturen“) die Determinante der Matrix.

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Berechnung für n>3:

Für n>3 gibt es noch Formeln wie die Leibniz-Formel oder eine Entwicklungsformel.

Beispiel:

⎛ 1 0 1⎞

⎜ ⎟

Sei A = 2 3 1

eine Matrix.

⎜ 1 2 2⎟

⎝ ⎠

Wir berechnen die Determinante durch Spaltenoperationen:

1 0 1 −1 −2 1 5 −2 1

det( A) = det 2 3 1 = −det −3 − 1 2 = −det 0 − 1 2 = 5

1 2 2 0 0 1 0 0 1

Berechnung der Determinante derselben Matrix mittels Zeilenoperationen:

1 0 1 1 0 1 1 0 1

det( A ) = det 2 3 1 = det 0 3 − 1 = det 0 3 − 1 = 5

1 2 2 0 2 1 0 0 5 3

Nun noch einmal mit der Regel von Sarrus:

1 0 1 1 0

2 3 1 2 3 ⇒ det( A) = 6 + 4 − 3− 2 = 5

1 2 2 1 2

In allen Fällen erhalten wir dasselbe Ergebnis.

Genau genommen gibt der Entwicklungssatz nur ein Verfahren an, die Summanden der

Leibniz-Formel in einer bestimmten Reihenfolge zu berechnen. Dabei wird die Determinante

bei jeder Anwendung um eine Dimension reduziert. Falls gewünscht, kann das Verfahren so

lange angewandt werden, bis sich ein Skalar ergibt. Der Laplace’sche Entwicklungssatz ist bei

kleinen Matrizen und Matrizen mit vielen Nullen sehr effizient. Ein Beispiel ist

(Entwicklung nach der ersten Zeile)

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Quadratische Matrizen, Autor: Florian Modler

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1.5 Ausblick: Anwendung von Determinanten

Determinanten werden in der linearen Algebra sehr oft angewendet. Wir wollen kurz drei

Beispiele anführen:

• Ist folgende Matrix invertierbar?

⎛1 3 4⎞

⎜ ⎟

Wir wollen untersuchen, ob A: = 2 −6 2

invertierbar ist. Dazu könnten wir natürlich

⎜ 4 2 1⎟

⎝ ⎠

den altbekannten Algorithmus anwenden (siehe Artikel „Invertierbare Matrizen“) oder aber

auch die Determinante z.B. mit der Regel von Sarrus berechnen:

⎛ 1 3 4⎞

1 3 4

⎜ ⎟

det A = det 2 − 6 2 = 2 − 6 2 = − 6 + 24 + 16 + 96 − 4 − 6 = 120

⎜ 4 2 1⎟

⎝ ⎠ 4 2 1

Also ist det A = 120 ≠ 0 . Folglich ist die Matrix invertierbar.

⎛1 3 2⎞

⎜ ⎟

Untersuchen wir nun, ob die Matrix B : = 2 −6 4

invertierbar ist.

⎜ 4 2 8⎟

⎝ ⎠

⎛ 1 3 2⎞

1 3 2

⎜ ⎟

det B = det 2 − 6 4 = 2 − 6 4 = − 48 + 48 + 8 + 48 −8 − 48 = 0

⎜ 4 2 8⎟

⎝ ⎠ 4 2 8

Die Determinante ist Null, folglich hat die Matrix nicht vollen Rang und ist damit nicht

invertierbar. (Man hätte dies auch gleich sehen können, die da erste und dritte Spalte sich

nur um ein Vielfaches unterscheiden und damit linear abhängig sind.)

Wir haben also mit einfacher und kurzer Rechnung gezeigt, dass die Matrix nicht invertierbar

sein kann und damit brauchen wir den sehr schreiblastigen Algorithmus zur Bestimmung der

Inversen einer Matrix erst gar nicht anwenden.

• Vektoren auf lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit untersuchen

Es ist durchaus möglich mittels Determinanten gewisse Vektoren auf lineare Abhängigkeit

bzw. Unabhängigkeit zu untersuchen. Dies geht aber nur für ganz bestimmte Vektoren. D.h.

die Anzahl der zu untersuchenden Vektoren und deren Zeilenanzahlen (bzw.

Spaltenanzahlen, je nachdem wie man die Vektoren aufschreibt) müssen übereinstimmen.

⎛1 ⎞ ⎛3 ⎞ ⎛ 4⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

Untersuchen wir also z.B. die Vektoren v1 : = 2 , v2 : = − 6 , v3

: =

2

auf lineare

⎜ 4⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜1


⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Abhängigkeit. Was wir sonst machen würden ist, dass LGS λ1v 1

+ λ2v2 + λ3v3 = 0 zu lösen und

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Quadratische Matrizen, Autor: Florian Modler

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zu zeigen, dass λ1 = λ2 = λ3 = 0 oder eben nicht. Das ist doch aber gleichbedeutend damit zu

untersuchen, ob die Matrix mit den Einträgen der Vektoren in den Spalten irgendwo eine

Nullzeile besitzt (ist das der Fall, so sind die Vektoren linear abhängig). Das ist doch aber

gleichbedeutend mit der Frage, ob die Matrix invertierbar ist oder nicht. Und dies wiederum

bedeutet, man muss die Determinante dieser Matrix berechnen. Ist diese Null, so hatte die

Matrix nicht vollen Rang (irgendwo taucht eine Nullzeile auf) und folglich sind die Vektoren

linear abhängig. Ist die Determinante nicht Null, so hatte die Matrix vollen Rang und die

Vektoren sind linear abhängig, da aus λ1v 1

+ λ2v2 + λ3v3 = 0 folgen würde, dass

λ1 = λ2 = λ3 = 0 .

Wie gesagt: Wichtig ist, die obige Bemerkung, auf welche Vektoren wir dies nur anwenden

können!

Probieren wir es aus:

⎛1 3 4⎞

⎜ ⎟

Es muss die Determinante der Matrix A: = 2 −6 2

berechnet werden. Dies haben wir

⎜ 4 2 1⎟

⎝ ⎠

oben schon gemacht, sie lautete det A = 120 ≠ 0 . Folglich sind die Vektoren

⎛1 ⎞ ⎛3 ⎞ ⎛ 4⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

v1 : = 2 , v2 : = − 6 , v3

: =

2

linear abhängig.

⎜ 4⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜1


⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛1 ⎞ ⎛3 ⎞ ⎛ 2⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

Ein weiteres Beispiel. Sind die Vektoren v1 : = 2 , v2 : = − 6 , v3

: =

4

⎜ 4⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜8


⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

linear unabhängig?

linear abhängig oder

(Ja, einige werden es schon sehen, Vektor v 3 ist ein Vielfaches des Vektors v 1 , also müssen

die Vektoren linear abhängig sein. Ihr habt Recht, aber machen wir es dennoch nochmal

mittels der Determinante):

⎛1 3 2⎞

⎜ ⎟

Wir müssen die Determinante von der Matrix B : = 2 −6 4

berechnen.

⎜ 4 2 8⎟

⎝ ⎠

Auch das haben wir oben schon getan. Sie lautete det B = 0 . Folglich sind die Vektoren

linear abhängig.

• Charakteristisches Polynom

Um eine weitere Anwendung der Determinante kennenzulernen, lest doch den Artikel

„Diagonalisieren“. Wir führen das hier nicht extra auf, sondern merken nur an, dass das

charakteristische Polynom einer Matrix A mit P = det( A − x • E ) definiert ist.

A

n

Stand: 9. Februar 2008

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