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6.2 Der Umlaufsatz von Hopf Abbildung 6.8: Diese Menge ist nicht sternförmig bzgl. x 0 . 50
6.2 Der Umlaufsatz von Hopf Beweis des Liftungslemmas: a) Sei n = 1, X = [0, 1] und x 0 = 0. Das heißt man möchte e : [0, 1] → S 1 ⊂ R 2 schreiben als e(t) = (cos(Θ(t)), sin(Θ(t))). Die Existenz von Θ folgt analog zur Existenz der Winkelfunktion. Man ersetzt c ′ durch e. Da e nur als stetig vorausgesetzt ist, kann auch Θ als stetig angesehen werden. b) Die Eindeutigkeit von Θ zeigen wir so: Sei X ⊂ R n sternförmig bzgl. x 0 , x ∈ X und e : X → S 1 ⊂ R 2 . Man definiert nun e X : [0, 1] → S 1 , e X (t) = e(tx + (1 − t)x 0 ). Mit a) folgt, dass genau ein Θ X : [0, 1] → R existiert mit Θ X (0) = Θ 0 und e X (t) = (cos(Θ(t)), sin(Θ(t))). Existiert ein Lift Θ, so folgt (da Θ X eindeutig ist) Insbesondere also Θ(x) = Θ X (1). Θ X (t) = Θ(tx + (1 − t)x 0 ). c) Die Stetigkeit von Θ : X → R sieht man so ein: Man definiert dafür Θ(x) := Θ X (1). Dann gilt ( ) ( ) cos(Θ(x)) cos(Θ X (1)) = = e X (1) = e(x). sin(Θ(x)) sin(Θ X (1)) Es bleibt noch die Stetigkeit zu zeigen. Sei x ∈ X, ε > 0, 0 = t 0 < t 1 < . . . < t N = 1 mit e x ([t i , t i+1 ]). Liegt also ganz in einem der vier Halbkreis. Wenn y ∈ X nahe bei x ist, dann folgt Wir schließen so: ∥e X (t) − e Y (t)∥ < ε ∀t ∈ [0, 1]. ⇒ e y ([t i , t i+1 ]) liegt in demselben Halbkreis wie e X ([t i , t i+1 ]) ( ) e2X (t) ⇒ Θ X (t) = arctan + 2πk e 1X (t) ( ) e2Y (t) ⇒ Θ Y (t) = arctan + 2πk e 1Y (t) Im Falle des linken oder rechten Halbkreises ist K fïr x und y dasselbe e = (e 1 , e 2 ) mit e X (1) = e(x). Hieraus ergbt sich Θ(x) − Θ(y) = Θ X (1) − Θ Y (1) = arctan Daraus folgt die Stetigkeit von Θ. ( ) ( ) e2 (x) e2 (y) − arctan . e 1 (x) e 1 (y) Beweis des Umlaufsatzes: Nun sind wir gewappnet, den Umlaufsatz zu beweisen. Auch dieser wird in drei Schritte geteilt. a) Es kann angenommen werden, dass – c(0) = (0, 0) und c ′ (0) = (0, 1). – c liegt links von der y-Achse. 51
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