Skript

3.4 Krümmung im n-Dimensionalen
torfeld.
Definition 3.9 (Krümmungsvektorfeld) Sei c : I → R n eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Das
Krümmungsvektorfeld von c ist die Abbildung
˜k : I → R n × R n
mit (c(t), c ′′ (t)).
Beispiel: Wir betrachten noch einmal die Helix mit Ganghöhe h und dem Radius r > 0. Zur Erinnerung.
Sie ist gegeben durch
c : R → R 3 , c(t) =
(
r cos(t), r sin(t), ht )
.
2π
In unserer Definition des Krümmungsvektorfelds haben wir gefordert, dass c nach Bogenlänge parametrisiert
ist. Dies müssen wir natürlich erst einmal sicher stellen. Es gilt
und folglich
c ′ (t) =
(
−r sin(t), r cos(t), ht )
2π
∥ c ′ (t) ∥ √
√
= r 2 sin 2 (t) + r 2 cos 2 (t) + h2
4π 2 = r 2 + h2
4π 2 .
Damit c nach Bogenlänge parametrisiert ist, soll also r 2 + h2
4π 2
anwenden und damit lautet unser Krümmungsvektorfeld
⎛ ⎛ ⎞⎞
⎛⎛
⎞
−r cos(t) −r cos(t)
˜k(t) = (c(t), c ′′ ⎜ ⎜ ⎟⎟
⎜⎜
(t)) = ⎝c(t), ⎝ r sin(t) ⎠⎠ = ⎝⎝
r sin(t)
0
= 1 gelten. Nun können wir die Definition
0
⎟
⎠ ,
r
r 2 + h2
4π 2
⎛ ⎞⎞
cos(t)
⎜ ⎟⎟
⎝sin(t)
⎠⎠ .
Die Frage, die sich nun stellt, ist doch aber: Was machen wir, wenn unsere Kurve nicht nach Bogenlänge
parametrisiert ist? Klar, wir haben gelernt, dass man jede regulär parametrisierte Kurve nach Bogenlänge
umparametrisieren kann. Wir haben aber auch gesehen, dass es nicht immer so einfach ist, entsprechende
Umparametrisierungen zu finden. Aber genau diesen Satz wollen wir nun ausnutzen, um auch das Krümmungsvektorfeld
für regulär, nicht für nach Bogenlänge parametrisierte Kurven zu definieren. Es sei also
c : I → R n eine regulär parametrisierte Kurve. I, ˜I offene Intervalle und φ : ˜I → I ein Diffeomorphismus,
so dass ˜c := c ∘ φ nach Bogenlänge parametrisiert ist. Ohne Einschränkung nehmen wir weiter an,
dass φ(s) > 0 ∀s ∈ ˜I. Wir berechnen nun
d
ds ˜c(s) = c′ (φ(s)) ⋅ φ ′ (s) (3.2)
0
und dann auch
d 2
ds 2 = c′′ (φ(s)) ⋅ (φ(s)) 2 + c ′ (φ(s)) ⋅ φ ′′ (s). (3.3)
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