Skript

3.2 Krümmung ebener Kurven
Abbildung 3.5: Die Krümmung ist Null.
Abbildung 3.6: Die Krümmung ist negativ.
Beispiel: Dazu sei die ebene Kurve c(t) = (r cos(t/r), r sin(t/r)) T
Geschwindigkeitsvektor und der zweiten Ableitung:
c ′ (t) =
(
−r ⋅ 1 r sin(t/r), r ⋅ 1 r cos(t/r) ) T
= (− sin(t/r), cos(t/r)) T
c ′′ (t) = 1 r (− cos(t/r), − sin(t/r)) = 1 r n(t)
gegeben. Es gilt nun für den
Nun gilt doch offensichtlich
Daher ist c ′′ (t) = 1 r n(t). Also ist k(t) = 1 r
also liegt eine konstante Krümmung vor.
c ′ (t) ⋅ c ′′ (t) = 0.
die Krümmung von c. Diese ist unabhängig vom Parameter t,
Es gibt eine weitere Formel, um von einer ebenen Kurve die Krümmung zu berechnen. Wir formulieren
dies in einem Satz.
Satz 3.6 Sei c : I → R 2 eine ebene Kurve. Für die Krümmung k(t) gilt dann
k(t) = det(c′ (t), c ′′ (t))
∥c ′ (t)∥ 3 .
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