Skript

3.2 Krümmung ebener Kurven
Abbildung 3.2: Ein Beispiel einer Kurve im R 2 , die nicht einfach geschlossen ist.
3.2 Krümmung ebener Kurven
Anschauchlich ist uns klar, was wir unter einer ebenen Kurve verstehen, und wir haben mit diesen auch
schon gearbeitet. Trotzdem geben wir nochmals die exakte mathematische Definition an:
Definition 3.3 (Ebene Kurve) Eine parametrisierte Kurve c : I → R 2 heißt ebene parametrisierte
Kurve.
Analog wie in Kapitel 1 sind natürlich ebene regulär parametrisierte und ebene nach Bogenlänge parametrisierte
Kurven definiert und zu verstehen.
Was versteht man nun anschaulich unter der Krümmung einer ebenen Kurve?
Dies ist eigentlich recht einfach: Die Krümmung ist ein Maß dafür, wie stark die Kurve von einer Geraden
abweicht. Um die Krümmung mathematisch zu definieren, benötigen wir den Begriff des Normalenfeldes
bzw. des Normalenvektors. Im Zweidimensionalen gibt es nämlich die „Besonderheit“, ein Normalenfeld
zu definieren.
Definition 3.4 (Normalenfeld) Sei c : I → R 2 eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Das Normalenfeld
ist definiert als
( )
0 −1
n(t) = ⋅ c ′ (t).
1 0
Anschaulich macht man sich dies anhand der Abbildung 3.3 deutlich.
Der Geschwindigkeitsvektor c ′ (t) wird also um 90 Grad gedreht im mathematisch positiven Sinne.
Dies spiegelt auch die Definition 3.4 wieder, denn die dort angegebene Matrix ist gerade eine Drehung
um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn. Damit steht n(t) senkrecht auf c ′ (t) und (c ′ (t), n(t)) bildet eine
Orthonormalbasis des R 2 . Im Folgenden sei c : I → R 2 eine ebene, nach Bogenlänge parametrisierte
Kurve. Da c eben nach Bogenlänge parametrisiert ist, gilt ⟨c ′ (t), c ′ (t)⟩ = 1. Wenn wir diese Gleichung
auf beiden Seiten differenzieren, so ergibt dies
〈
c ′′ (t), c ′ (t) 〉 + 〈 c ′ (t), c ′′ (t) 〉 = 2 〈 c ′ (t), c ′′ (t) 〉 = 0.
Demnach steht c ′ (t) senkrecht auf c ′′ (t). Also ist c ′′ (t) ein Vielfaches des Normalenvektors n(t). Es gilt
c ′′ (t) = k(t) ⋅ n(t). (3.1)
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