Skript

6.2 Der Umlaufsatz von Hopf
Lemma 6.6 (Liftungslemma) Sei X ⊂ R n sternförmig bzgl. einem Punkt x 0 . Sei e : X → S 1 ⊂ R 2 eine
stetige Abbildung. Dann existiert eine stetige Abbildung Θ : X → R, so dass
( )
cos(Θ(x))
e(x) =
= e iΘ(x) ∀x ∈ X.
sin(Θ(x))
Die Abbildung Θ ist durch Vorgabe von Θ(x 0 ) = Θ 0 eindeutig bestimmt.
Wir weisen auf das folgende kommutierende Diagramm hin, um sich das Liftungslemma vorzustellen:
Abbildung 6.6: Das Liftungfslemma: Die Abbildung e wird zu Θ geliftet.
Bevor wir zum Beweis des Liftungslemmas kommen, müssen wir uns zunächst klar machen bzw. definieren,
was „sternförmig “für uns bedeuten soll.
Definition 6.7 (sternförmig) Sei X ⊂ R n . Dann heißt X sternförmig bzgl. x 0 , falls für jeden Punkt
x ∈ X die Strecke zwischen x und x 0 komplett in X enthalten ist, das heißt wenn
tx + (1 − t)x 0 ∈ X ∀t ∈ [0, 1].
Beispiel: Zwei Beispiele für eine sternförmige und nicht-sternförmige Menge zeigen Abbildungen 6.7
und 6.8.
Abbildung 6.7: Diese Menge ist sternförmig bzgl. x 0 .
49