Skript

3.3 Krümmung räumlicher Kurven
Beweis: Wir rechnen die Formel einfach nach:
k(t) = ⟨n′ 1 (t), n 2(t)⟩
∥c ′ = 1 〈 c ′ 〉
(t)
(t)∥ ∥c ′ (t)∥ ∥c ′ (t)∥ , n 2(t)
= 1 〈 c ′′ (t) ⋅ ∥c ′ (t)∥ − c ′ (t) ⋅ ∥c ′ 〉
(t)∥
c ′ (t)
∥c ′′ (t)∥ 2 , n 2 (t)
〈
1
=
∥c ′ (t)∥ 3 c ′ (t) ⋅ ∥ c ′ (t) ∥ c ′ (t) ⋅ ⟨c ′′ (t), c ′ 〉
(t)⟩ − , n2 (t)
〈( ) ( )〉 〈( ) ( )〉
= 1 3
x ′′ (t) −y ′ (t) 1 c ′′ (t) x ′ (t)
∥c ′ (t)∥ y ′′ ,
(t) x ′ −
(t) ∥c ′ (t)∥ 5 y ′′ ,
(t) y ′ (t)
〈( ) ( )〉
1 x ′′ (t) −y ′ (t)
=
∥c ′ (t)∥ 3 y ′′ ,
(t) x ′ (t)
〈( )
1 −y ′ (t)
( ) 〉
=
∥c ′ (t)∥ 3 x ′ , x ′′ (t), y ′′ (t)
(t)
=
1
∥c ′ (t)∥ 3 det(c′ (t), c ′′ (t)).
3.3 Krümmung räumlicher Kurven
Nun wissen wir als, was wir unter der Krümmung von ebenen Kurven versteht und wie man diese auch
berechnet. In diesem Abschnitt wollen wir uns nun anschauen, wie es bei räumlichen Kurven aussieht
und wo es dort eventuell Probleme mit unserer alten Definition von der Krümmung geben kann. Zunächst
aber wieder die Definition einer räumlichen Kurve, die uns aber schon sehr vertraut ist:
Definition 3.7 Eine parametrisierte Kurve c : I → R 3 heißt parametrisierte Raumkurve.
Natürlich definiert man regulär parametrisierte sowie nach Bogenlänge parametrisierte Kurven analog.
Im Dreidimensionalen stehen wir jetzt aber vor einem Problem mit der Definition der Krümmung, wie
wir sie im obigen Abschnitt definiert haben. Für eine räumliche Kurve ist der Normalenvektor nicht
eindeutig. Wir wollen wir das Normalenfeld definieren? Es lässt sich zwar kein einzelner Normalenvektor
bestimmen, dafür aber eine Normalenebene, wie die Abbildung 3.7 deutlich macht.
Abbildung 3.7: Die Normalenebene anschaulich.
Bei ebenen Kurven hatten wir zwei senkrecht stehende Normalenvektoren. Durch die Orientierung
haben wir diesen dann eindeutig festgelegt. Aber wie machen wir das nun bei Raumkurven? Dort wird
es schwer sein über die Orientierung zu argumentieren. Bei unserer „alten “ Definition von Krümmung
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