Skript

5.2 Mannigfaltigkeiten
5.2 Mannigfaltigkeiten
Der Begriff der Mannigfaltigkeit umfasst sowohl Kurven als auch Flächen, ermöglicht es aber zugleich,
die beiden Konzepte wesentlich zu verallgemeinern. Dabei fordert man im Wesentlichen nur die lokale
„Ähnlichkeit “zum R n . Wir beginnen mit einem „Ausgangsraum “X, den wir so allgemein wie möglich
halten. Die „Ähnlichkeit “zum R n präsizieren wir, indem wir zunächst den Begriff der Karte einführen.
Als n-dimensiononale Karte (oder lokales Koordinatensystem) auf einem Raum X definieren wir einen
Homöomorphismus h : U → U ′ ⊂ R n , wobei U ⊂ X ist, und sowohl U als auch U ′ offen sind. Wenn
jeder Punkt von X einem möglichen Kartengebiet U angehört, so heißt X lokal euklidisch. Meist wird
man mehrere Karten brauchen, um ganz X erfassen zu können. Diese Karten sollen untereinander verträglich
sein. Noch besser: Der Übergang zwischen zwei Karten soll sogar diffeomorph sein, das heißt
differenzierbar. Eine ganze Sammlung von entsprechend gut verträglichen Karten, die zusammen ganz X
Abbildung 5.6: Der Begriff der Karte einer Mannigfaltigkeit.
erfassen, nennt man einen Atlas. Der maximale Atlas, der alle Karten, zwischen denen ein diffeomorpher
Wechsel überhaupt möglich ist, enthält, definiert nun eine Mannigfaltigkeit, vorausgesetzt der ursprüngliche
Raum X erfüllt einige recht allgemeine Eigenschaften. Der Mannigfaltigkeitsbegriff schließt, wie ja
auch gewünscht, Kurven und Flächen mit ein. Dort geht man bei der Definition jedoch meist den Weg
in die andere Richtung. Man wählt sich einen günstigen Parameterbereich U ′ ⊂ R n und parametrisiert
dann die Fläche mittels x(u, v) mit u, v ∈ U ′ . Dieses x(u, v) ist natürlich in obiger Notation gerade
die Umkehrfunktion h −1 von h und U ′ wird wenn möglich so gewählt, dass die ganze Fläche damit beschrieben
werden kann. Man braucht sich in diesem Fall um Kartenübergänge oder gar Atlanten keinerlei
Gedanken machen. Allerdings lässt sich bereits die Kugel nicht mehr mit einer Karte beschreiben. In jeder
flachen Weltkarte gibt es zumindestens einen Punkt auf der Erde, der nicht auf einen Punkt auf der
Karte abgebildet wird. In den üblichen Darstellungen sind es sogar zwei: Nord- und Südpol. Auch die Riemannsche
Zahlenkugel illustriert das. Dem Nordpol entspricht kein Punkt in der komplexen Ebene. Zwei
Dinge gibt es, die wir im Zusammenhang mit Mannigfaltigkeiten noch erwähnen wollen: Das erste ist der
Begriff des Tangentialraums. Dieser umfasst die Spezialfälle des Tangentialvektors an einer Kurve und
der Tangentialebene an eine Fläche. Den Tangentialraum T p M an eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit
M im Punkt p ∈ M kann man sich am einfachsten als jeden n-dimensionalen Vektorraum vorstellen,
der von den Tangentialvektoren aller differenzierbaren Kurven durch p aufgespannt wird. Die Menge aller
Tangentialräume einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit M wird Tangentialbündel von M genannt
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