Skript

4.4 Abschluss und Ausblick
Wir wissen: Die Großkreise geben die kürzeste Verbindung von Punkten auf der Sphäre an. Der Abstand
ist gegeben durch die Länge auf den verbindenden Großkreisen.
Daraus ergibt sich:
Der Abstand von r und r ′ auf der Sphäre ist π
L
2 ≥ π, da die Länge von rr′ nicht kleiner sein kann als π, denn der Großkreis ist die Verbindungskurve
kleinster Länge
⇒ L ≥ 2π
Gleichheit gilt, falls r, r ′ , q, p auf einem Großkreis liegen.
In diesem Fall ist γ der Rand einer Hemisphäre.
Wir haben also gezeigt:
L[γ] ≥ 2π oder γ liegt in einer offenen Hemisphäre.
L[γ] = 2π ⇒ γ liegt in einer abgeschlossenen Hemisphäre.
⇒ γ ist ein Großkreis (= Rand einer Hemisphäre)
Nun zum Beweis des Satzes von Fenchel:
Beweis des Fenchel-Satzes: Nach Lemma 4.4 kann γ c nicht in einer offenen Hemisphäre liegen und nach
Lemma 4.5 ist ihre Länge L nach unten durch 2π beschränkt.
Nun gilt aber:
2π ≤ L ≥
∫ L
∥ ˙γ c (t)∥ dt
γ c(t)= ˙c(t)
{}}{
=
∫ L
∥¨c(t)∥ dt ≥
∫ L
k(t) dt
0
0
0
Gleichheit gilt genau dann, wenn γ c ein einfach durchlaufender Großkreis auf S 2 ist. Damit ist c eine
einfach geschlossene Kurve.
Damit ist auch der Satz von Fenchel bewiesen.
4.4 Abschluss und Ausblick
Der Satz von Fenchel besitzt eine Verschärfung von Fary und Milnor, welche besagt:
Wenn eine geschlossene Raumkurve verknotet ist, dann ist ihre Totalkrümmung sogar größer als 4π.
Leider können wir hier nicht mehr darauf eingehen, da es den Rahmen sprengen würde. Wir verweisen
auf die Literatur.
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