Skript

Kapitel 2
Die Länge einer Kurve
Wie kann man die Länge einer Kurve in einem bestimmten Intervall berechnen? Wir werden sehen, dass
es ein „Näherungsverfahren“ gibt, das wir aber auf ein schönes und einfacheres Berechnungsverfahren
„verallgemeiner“ können. Es wird möglich sein, durch einfache Integralrechnung die Länger einer Kurve
in einem bestimmten Intervall zu bestimmen. Anders formuliert: Wir werden zwei Definitionen der Länge
einer Kurve geben, dann aber in einem etwas längeren und aufwendigeren Beweis zeigen, dass beide
Definitionen äquivalent zu einander sind. Außerdem werden wir sehen, was für Vorteile es mit sich
bringt, wenn die Kurve nach Bogenlänge parametrisiert ist. Auch an Beispielen werden wir in diesem
zweiten Kapitel nicht sparen.
2.1 Die Länge einer Kuve
Ziel dieses Abschnitts und des gesamten Kapitels soll es nun sein, die Länge einer Kurve in einem bestimmten
Intervall zu berechnen. Stellt man sich eine beliebige Kurve vor, so könnte man die Kurve
doch durch Polygonzüge (Streckenzüge) approximieren und durch Grenzwertübergang würden wir dann
ziemlich genau die Länge der Kurve erhalten. Betrachten wir die folgende Abbildung 2.1.
Abbildung 2.1: Approximation durch Polygonzüge.
Unterteilen wir das entsprechende Intervall immer weiter, so bekommen wir eine noch genauere Näherung
der eigentlichen Länge der Kurve:
Abbildung 2.2: Verkleinern der Streckenzüge liefert genauere Approximation der Kurvenlänge.
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