Skript

2.1 Die Länge einer Kuve
1. Schritt: Wir behaupten:
Lemma 2.4 Zu ε ′ existiert ein δ 0 > 0, so dass für jede Unterteilung a = t 0 < t 1 < . . . < t k = b
mit t i+1 − t i < δ 0 , i = 0, . . . , k gilt:
k−1
∣ L[c] ∑
∣c ′ (t i+1 ) ⋅ (t i+1 − t i )∣
∣ < ε′ .
i=0
Beweis: Das Integral von Riemann-integrierbaren Funktionen kann durch Riemannsche Summen
approximiert werden. Es gilt
∣
∫ b
a
k−1
∑
f(t) dt − f(t i+1 ) ⋅ (t i+1 − t i )
∣ < ε.
i=0
Hier ist L[c] = ∫ b
a ∣c′ (t)∣ dt, das heißt f(t) = ∣c ′ (t)∣.
2. Schritt: Wir zeigen:
Lemma 2.5 Zu ε ′ existiert ein δ j > 0, so dass ∣c ′ j (t) − c′ j (s)∣ < ε′ , falls ∣t − s∣ < δ j mit t, s ∈ [a, b].
Beweis: c ′ j : [a, b] → R sind stetig und [a, b] kompakt (nach Heine-Borel, da abgeschlossen und
beschränkt). Daraus folgt, dass c ′ j , j = 1, . . . , n gleichmäßig stetig sind.
3. Schritt: Wir definieren δ := min{δ 0 , . . . , δ n }. Sei nun eine Unterteilung a = t 0 < t 1 < . . . < t k = b
der Feinheit kleiner als δ vorgegeben. Nach dem Mittelwertsatz der Analysis existiert ein τ i,j ∈
(t i , t i+1 ), so dass
4. Schritt: Wir behaupten:
Lemma 2.6 Es gilt:
c j (t i+1 ) − c j (t i ) = c ′ j(τ i,j )(t i+1 − t i ).
∣
∣∣c(t i+1 ) − c(t i )∣ − ∣c ′ (t i+1 ) ⋅ (t i+1 − t i )∣ ∣ ∣ < √ n ⋅ ε ′ (t i+1 − t i ).
Beweis: Wir rechnen nach:
∣
∣∣c(t i+1 ) − c(t i )∣ − ∣c ′ (t i+1 ) ⋅ (t i+1 − t i )∣ ∣ ∣ =
∣ ( c ′ 1(τ i,1 ), . . . , c ′ n(τ i,1 ) )∣ ∣ − ∣ ∣ ( c ′ 1(t i+1 ), . . . , c ′ n(t i+1 ) )∣ ∣ ⋅ (t i+1 − t i )
≤ ∣ ∣c ′ 1(τ i,1 ) − c ′ 1(t i+1 ), . . . , c ′ n(τ i,1 ) − c ′ n(t i+1 ) ∣ ⋅ (t i+1 − t i )
√
n∑
= ⎷ (c ′ j (τ i,1) − c ′ j (t i+1)) 2 ⋅ (t i+1 − t i )
j=1
≤ √ n ⋅ ε ′ (t i+1 − t i )
16