Skript

5.3 Zusammenfassung
Abbildung 5.7: Der Tangentialraum einer Mannigfaltigkeit M in einem Punkt p ∈ M.
und wir schreiben
T M := ∪
T p M.
p∈M
Das Tangentialbündel ist eine 2n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Die zweite Anmerkung ist etwas, das
dem abstrakten Mannigfaltigkeitsbegriff auf den ersten Blick viel von seiner Tragweite nimmt, der Einbettungssatz
von Withney:
Satz 5.4 (Einbettungssatz von Withney) Jede n-dimensionale Mannigfaltigkeit lässt sich in den R 2n+1
einbetten.
So gesehen kann man Mannigfaltigkeiten tatsächlich immer als Untermengen eines R n auffassen. In
den allermeisten Fällen ist es aber sehr schwierig, solche Einbettungen zu finden und es ist daher zielführender
sich gar nicht um diese Einbettungen zu kümmern.
5.3 Zusammenfassung
Definition 5.5 (Jordan-Kurve) Eine Kurve c(t) heißt Jordan-Kurve, wenn für jede Parametrisierung c(t)
mit c ′ (t) ∕= 0, t ∈ [a, b] ⊂ R gibt, so dass für alle t k ∈ [a, b] aus t 1 ∕= t 2 immer c(t 1 ) = c(t 2 ) folgt. Als
einzige Ausnahme wird c(a) = c(b) zu gelassen.
Satz 5.6 (Jordanscher Kurvensatz) Jede geschlossene Jordan-Kurve C zerlegt R 2 ∖ C ∗ in zwei disjunkte
einfach zusammenhängende offene Teilmengen, von denen genau eine beschränkt ist.
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