¨Ubungen zu Mathematische Methoden der Physik I - Theoretische ...

Übungen zu Mathematische Methoden der Physik I
WiSe 2010/2011
Prof. Dr. A. Khodjamirian, S. Gadatsch, P. Gelhausen, D. Rosenthal
Präsenzübung 5 — Besprechung: 15. Dezember 2010
Aufgabe 15: Integrationstechnik
Berechnen Sie folgende Integrale mit einer geeigneten Substitution oder durch partielle
Integration.
∫
∫
a) dx sin(2x + 1)
d) dxx cos x
∫
∫
1
b) dx√ e) dx sin 2 x
1 − x 2
∫
c) dx 1
∫
f) dx sin x cosh x
sin x
Aufgabe 16: Partialbruchzerlegung
a) Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung folgender rationaler Funktionen.
• R(x) = x + 1
x(x − 1) 2
• R(x) = −2x3 − 2x 2 + 2x + 14
(x + 1) 2 (x 2 + 2x + 5)
b) Berechnen Sie die Integrale der auftauchenden Terme der Form
a
•
(x − x 0 ) n
( )
bx + c
•
(x 2 + px + q) n , q > p2
4
c) Finden Sie nun die Stammfunktion der Funktion R(x) =
1 + 3x + 3x2
1 + 2x + 2x 2 + x 3 .
bitte wenden

Aufgabe 17: Wurfparabel
Von einem Turm der Höhe h = 50 m
wird ein Ball in horizontaler Richtung
mit der Geschwindigkeit v = 10 m s
geworfen. Berechnen Sie die Länge der
Flugbahn bis der Ball am Boden aufprallt.
Hinweise:
h
50
40
30
20
10
• Die in Abbildung 3 gezeigte Bahnkurve
ist unter Vernachlässigung des
Luftwiderstands als Funktion der
Zeit gegeben durch x = vt, y =
h − gt2
5 10 15 20 25 30
Abbildung 3: Wurfparabel.
2 .
x
Aufgabe 18: Rotationskörper
Zeigen Sie, dass für einen Drehkörper
dessen Oberfläche definiert ist durch die
Funktion f(x) = 1 mit der x-Achse
x
als Drehachse für 1 ≤ x ≤ ∞ Volumen
endlich, aber Oberfläche unbeschränkt
sind.
Hinweise:
• Die Integration über einen
Drehkörper kann oft durch Integration
über scheibenförmige
Differentiale ersetzt werden.
1
2
3
Abbildung 4:
Rotationskörper für 1 ≤ x ≤ 5.
4
5
1.0
0.5
0.0
0.5
0.0
1.0
0.5
0.5
1.0 1.0