Mathematische Grundlagen für Forstwissenschaften - Fakultät für ...

Definition 1.22: Diejenige positive reelle Zahl x, die die Gleichung x n = a für a > 0
eindeutig löst, heißt n-te Wurzel von a.
Ist a < 0 und n eine ungerade natürliche Zahl, sei die n-te Wurzel aus a:
x=− n −a .
Für ein gerades n und negatives a ist die n-te Wurzel von a in R nicht definiert.
Beispiel 1.17: (1)
3
27 =
3
(2) 9=3
(3) −9 existiert in R nicht.
(4)
3 3
− 27 = − 27 = − 3
(5) 3x−10 existiert, wenn 3x – 10 ≥ 0, d.h. x≥ 10
3
(6)
n
3x−10 existiert für ungerades n für alle x∈R .
(7)
n
3x−10 existiert für gerades n für alle x≥ 10
3
.
Beachte:
x 2 = x (nach Definition der Wurzel),
aber: x 2 =∣x∣ (Bsp.: −2 2 = 4=2=∣−2∣ , nicht −2 )
Lösungsformel für quadratische Gleichungen
Allgemeine Form einer quadratischen Gleichung: x 2 pxq=0 .
(ggf. erst auf diese Form bringen!)
⇒ Lösungen:
x 1,2
= − p
2 ± p2
4 −q (existieren, falls
Bsp.: 2 x 2 30=16 x , x = ?
Umformen: 2 x 2 −16 x30=0
⇒ x 2 −8 x15=0
x 1,2
=4±16−15=4±1
⇒ x 1
=3 und x 2
=5
p 2
−q≥0 ist).
4
Wurzelsatz von Vieta:
x 1
x 2
=35=8=− p
x 1
⋅x 2
=3⋅5=15=q
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