Mathematische Grundlagen für Forstwissenschaften - Fakultät für ...

Wichtige Begriffe aus der Theorie der Zahlenmengen
Umgebung eines Punktes b:
Symbol: ( b–ℇ, b+ℇ )
Definition 1.25: b−,b={x∈R∣∣x−b∣}={x∈R∣b−xb}
Dabei sei b ∈ R, ℇ > 0, ℇ R.
(In Worten: Die offene Umgebung des Punktes b, ( b–ℇ, b+ℇ ), ist definiert
als die Menge aller x aus R, die größer als b–ℇ und kleiner als b+ℇ sind.
ℇ (Epsilon) ist eine positive reelle Zahl, die einen beliebigen Wert annehmen
kann.)
ℇ heißt Radius der Umgebung; je nach Größe von ℇ nimmt die Umgebung des Punktes b eine
bestimmte Größe an.
Beweis, dass ∣x−b∣ ⇔ b− xb :
∣x−b∣
⇔ x−b ∧ − x−b
⇔ x−b ∧ x−b−
⇔ xb ∧ xb−
⇔ b− xb .
Abbildung 24
Beachte:
∣a−b∣ ist stets der Abstand von a und b. Abstände sind nicht negativ.
(a)
b-ℇ b b+ℇ
linke Umgebung von b: (b–ℇ, b]
rechte Umgebung von b: [b, b+ℇ )
(b)
Die Umgebung von +∞ ist ( d, +∞ ), d R beliebig.
Die Umgebung von –∞ ist ( –∞, d ), d ∈ R beliebig.
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