Übungsblatt 3 - Unics.uni-hannover.de

Physikalisch-Chemische Rechenübungen II
(Aufbau der Materie)
WS 2008/09
– Übungsblatt 3 –
Stichworte:
Teilchen im eindimensionalen Kasten, konjugierte π-Elektronensysteme,
1,3-Butadien, Pauli-Prinzip, Aufenthaltswahrscheinlichkeit, Lichtabsorption
1. Im 1,3-Butadien sind die π-Elektronen delokalisiert, sie können sich längs der C-C-
Bindung (a 0 ≅ 144 pm) frei bewegen. In einer idealisierten Betrachtung können also die π-
Elektronen des Moleküls als „eindimensionales Elektronengas“ aufgefasst werden. Dies
führt zu den gleichen Wellenfunktionen ψ
n
( x)
wie sie in der Vorlesung für ein Teilchen
im eindimensionalen Kasten hergeleitet wurden. Die Kastenlänge entspricht der Länge a
der konjugierten Kette, welche im Sinne eines Blochwellenansatzes erhalten wird, wenn
die Moleküllänge an jedem endständigen Kohlenstoffatom um eine halbe Bindungslänge
a 0 verlängert wird:
2
Wellenfunktionen:
ψ
n
( x)
=
im Intervall
( x a )
2
⎛ n
sin
⎜
π +
⋅
a ⎜ a
⎝
[ − a , + a ]
2
2
2
⎞
⎟
⎟
⎠
a) Skizzieren Sie die Wellenfunktionen der untersten vier Zustände eines π-Elektrons im
1,3-Butadien analog zum eindimensionalen Kasten mit unendlich hohen Potentialwänden
und der Länge a.
b) Geben Sie die Eigenfunktionen und die Eigenwerte der Energie der vier Zustände an,
und tragen Sie die Energieeigenwerte in einem Schema auf. Besetzen Sie für den
Grundzustand des Moleküls die Zustände mit den π-Elektronen unter
Berücksichtigung des Pauli-Prinzips.
c) Welche Werte hat die de-Broglie-Wellenlänge des Elektrons in den einzelnen
Zuständen?
d) Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, das Elektron in den vier Zuständen im
mittleren Viertel des Kastens anzutreffen (in der Bindung zwischen C2 und C3)?
e) Welche Energie muss aufgebracht werden, um das 1,3-Butadien vom molekularen
Grundzustand in den ersten angeregten Zustand zu bringen? Ein Photon welcher
Wellenlänge müsste dazu absorbiert werden?
f) Wie verändern sich die erste Anregungsenergie und die Absorptionswellenlänge,
wenn man ein Molekül mit einer längeren konjugierten Kette betrachtet, z.B. das
orange-rote β-Carotin oder das rote Lycopin in den Tomaten mit jeweils 22 oder 32
Kohlenstoffatomen in der linearen Kette?
Bei Fragen oder Problemen: Dr. Armin Feldhoff, Tel.: 762-2940; Raum 113 (Neubau Chemie)
armin.feldhoff@pci.uni-hannover.de
http://www.unics.uni-hannover.de/nhcfarmi/Lehre/lehre.htm

Lösungen zu Übungsblatt 3:
Aufg. 3-1b:
E 1 = 1,13 eV, E 2 = 4,52 eV, E 3 = 10,17 eV, E 4 = 18,08 eV
Aufg. 3-1c:
λ 1 = 1152 pm, λ 2 = 576 pm, λ 3 = 384 pm, λ 4 = 288 pm
Aufg. 3-1d:
P 1 = 0,475, P 2 = 0,091, P 3 = 0,33, P 4 = 0,25,
P 1 + P 2 + P 3 + P 4 = 1,132
Aufg. 3-1e:
ΔE LUMO-HOMO = 5,65 eV,
λ = 219 nm
Aufg. 3-1f:
β-Carotin: ΔE LUMO-HOMO = 0,853 eV, λ = 1,454 µm
Lycopin: ΔE LUMO-HOMO = 0,578 eV, λ = 2,147 µm