Übungsblatt 8 - Unics.uni-hannover.de

Physikalisch-Chemische Rechenübungen II
(Aufbau der Materie)
WS 2008/09
– Übungsblatt 8 –
Stichworte:
Kugelkoordinaten, Koordinatentransformation, Jacobi-Determinante
(Funktionaldeterminate), Wasserstoffatom, Kugelfunktionen, Polardiagramme,
Orbitale, Bohrscher Radius, Erwartungswert, Unschärfe
1. Für die Behandlung von Problemen mit sphärischer Symmetrie ist es wichtig, das
Volumenelement dV = dx dy dz aus kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten zu
transformieren. Dies erfolgt über die Determinante der Jacobi-Matrix, die für die
betreffende Koordinatentransformation wie folgt definiert ist:
∂
∂
( x,
y,
z)
( r,
θ,
ϕ)
=
∂x
∂r
∂y
∂r
∂z
∂r
∂x
∂θ
∂y
∂θ
∂z
∂θ
∂x
∂ϕ
∂y
∂ϕ
∂z
∂ϕ
a) Berechnen Sie unter Einbeziehung der Ergebnisse von Aufg. 7-1 die Jacobi-
Determinante für die Transformation von kartesischen Koordinaten auf
Kugelkoordinaten.
2. Gegeben sei folgende Wellenfunktion für einen elektronischen Zustand des
Wasserstoffatoms:
Ψ
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ a0
⎠
5
2
2⋅
0
( r , θ,
ϕ) = ⎜ ⎟ ⋅ ⋅ r ⋅ e ⋅ cosθ
a) Skizzieren Sie die Form des durch die Wellenfunktion beschriebenen Orbitals.
4 ⋅
1
2π
b) Welches Orbital (s, p, d, f, g) wird durch die Wellenfunktion beschrieben?
c) Welche Quantenzahlen n, l, m charakterisieren diesen Zustand?
−
a
r
3. Berechnen Sie für ein Wasserstoffatom im Grundzustand:
−
1 a0 −
1s
= Ψ1 s = ⋅ e ; a
3
0 = 5,2918 ⋅10
π ⋅ a
a) Den Erwartungswert des Radius r sowie seine Streuung Δ r .
0
r
11
m
Bei Fragen oder Problemen: Dr. Armin Feldhoff, Tel.: 762-2940; Raum 113 (Neubau Chemie)
armin.feldhoff@pci.uni-hannover.de
http://www.unics.uni-hannover.de/nhcfarmi/Lehre/lehre.htm

Lösungen zu Übungsblatt 8:
Aufg. 8-1a:
∂
∂
( x y,
z)
( r,
θ,
ϕ)
, = r
2 ⋅ sinθ
damit ergibt sich das Volumenelement in Kugelkoordinaten (sphärische Polarkoordianten)
2
zu: dV = r ⋅sinθ
⋅ dr ⋅ dθ
⋅ dϕ
Aufg. 8-3a:
r
= 7,938⋅10
−11
m
r
2
= 2,8 ⋅10
−21
m
2
Δr
= 4,55⋅10
−11
m