Kapitel 1 Einleitung - Unics.uni-hannover.de

Eine der Anwendungen von GESSEL und VIENNOT stellt die Determinanten
von quadratischen Matrizen im durch P (a, b) = ( a
b)
gegebenen PASCALschen
Dreieck P ∈ Z Z ≥0×Z ≥0 in einen engen Zusammenhang mit gewissen A, B-
Verbindungen im Gittergraphen: Sei G = (Z × Z, {(x, y)(x + 1, y), (x, y)(x, y +
1) : x, y ∈ Z}) der nach Norden und Osten gerichteten Gittergraph. Für a, b ≥ 0
ist der Binomialkoeffizient ( a
b)
gleich der Anzahl der (0, −a), (b, −b)-Wege in G,
denn diese Wege entsprechen den Folgen mit genau b − 0 = b Ostschritten und
−b − (−a) = a − b Nordschritten, und davon gibt es ( )
b+(a−b)
b viele. Sind nun
a 1 < . . . < a k und b 1 < . . . < b k und setzen wir A := {(0, −a i ) : i ∈ {1, . . . , k}}
und B := {(b, −b i ) : i ∈ {1, . . . , k}}, so erhalten wir als Wegematrix mit w
konstant 1 gerade M((0, −a i ), (b i , −b i )) = ( a i
)
b i
. Wählen wir f(bi ) = a i , so ist
nach Lemma 1 detM = ∑ p kreuzungsfreie A, B-Verbindung sgn f
(p) · w(p). Da
eine kreuzungsfreie A, B-Verbindung p = (σ, (P a ) a∈A ) nur mit σ = f −1 bestehen
kann und sgn f
(f −1 ) = sgn(id A ) = +1 gilt, ist detM tatsächlich die
Anzahl kreuzungsfreier A, B-Verbindungen. Folglich sind die Determinanten
von quadratischen Matrizen im PASCALschen Dreieck nichtnegtaiv.
1.2 Kirchhoffs Matrix-Baum-Satz
Die Inzidenzmatrix N über R eines Multigraphen oder Dimultigraphen G ist
die Matrix aus R V (G)×E(G) mit N(x, e) = 1 falls x Anfangsecke von e ist,
N(x, e) = −1 falls x End- aber nicht Anfangsecke von e ist, und 0 sonst. Die
Inzidenzmatrix von G über Z wird mit I(G) bezeichnet.
Theorem 2 (Matrix-Baum-Satz von Kirchhoff) Sei G = (V, E) ein endlicher zusammenhängender
Graph, D eine beliebige Orientierung von G und x ∈ V . Dann
besitzt G genau det(I(D)I(D) ⊤ )|(V − {x} × V − {x}) verschiedene Spannbäume.
Beweis. Sei V 0 := V − {x}, k := |V 0 |, und P := I(D)|V 0 × E.
Wir zeigen die Behauptung zunächst für einen Baum G, indem wir induktiv
detP = ±1 beweisen: Für |G| = 1 ist P die leere Matrix und detP = 1, für
|G| > 1 besitzt G ein Blatt v ≠ x, und v inzidiert mit genau einer Kante e von
G. Da P − := P |(V 0 − {v}) × (E − {e}) die Einschränkung der Inzidenzmatrix
der Orientierung D − v des Baumes G − v auf V (G − v) − {x} × E(G − v)
ist, erhalten wir per Induktion detP − = ±1, und Entwicklung von P nach der
v-ten Zeile liefert detP = P (v, e) · detP − = (±1) · (±1) = ±1 wie behauptet.
Kehren wir zurück zum allgemeinen Fall. Mit dem Produktsatz von BINET
und CAUCHY ist det(I(D)I(D) ⊤ )|V 0 × V 0 ) = detP P ⊤ = ∑ ⊤
N
detN · detN
= ∑ N (detN)2 , wobei N alle Matrizen P |V 0 × E 0 mit E 0 ⊆ E und |E 0 | = k
durchläuft. Falls der unterliegende Graph G 0 von (V, E 0 ) kein Baum ist, so ist
er nicht zusammenhängend und besitzt daher eine Komponente C, die x nicht
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