Formelsammlung Dezember 2010 - IAF Interessengemeinschaft ...

Abschlussprüfung zum/zur 

Finanzplaner/in mit eidg. Fachausweis 

Formelsammlung 

Autor: Iwan Brot 

Diese Formelsammlung wird an den Prüfungen abgegeben soweit erforderlich. 

Stand 1. Dezember 2010. Änderungen vorbehalten. 

Formelsammlung Finanzplaner © 2010 IAF Interessengemeinschaft Ausbildung im Finanzbereich Seite 1 von 32

Inhaltsverzeichnis Formelsammlung 

Umrechnung von einfache in stetige Rendite....................................................................................................................................................................................6 

Umrechnung von stetige in einfache Rendite....................................................................................................................................................................................6 

Zinseszinsberechnung (Zukunftswert oder auch Future Value) bei einfachen Renditen .................................................................................................................6 

Zinseszinsberechnung bei stetigen Renditen .....................................................................................................................................................................................6 

Barwertberechnung (Gegenwartswert oder auch Present Value) auf Grund künftigem Kapitalbedarf (einfache Werte)...............................................................7 

Barwertberechnung auf Grund künftigem Kapitalbedarf (stetige Werte).........................................................................................................................................7 

Berechnung der einfachen Gesamtrendite ........................................................................................................................................................................................7 

Berechnung der stetigen Gesamtrendite...........................................................................................................................................................................................7 

Berechnung der einfachen durchschnittlichen Jahresrendite (Überjährigkeit).................................................................................................................................8 

Berechnung der stetigen durchschnittlichen Jahresrendite (Überjährigkeit)....................................................................................................................................8 

Berechnung der einfachen durchschnittlichen Jahresrendite (Unterjährigkeit)................................................................................................................................8 

Berechnung der stetigen durchschnittlichen Jahresrendite (Unterjährigkeit)...................................................................................................................................8 

Unterschiedliche einfache Periodenrenditen; Berechnung der einfachen Gesamtrendite...............................................................................................................9 

Unterschiedliche stetige Periodenrenditen; Berechnung der stetigen Gesamtrendite.....................................................................................................................9 

Berechnung der zeitgewichteten Durchschnittsrendite .................................................................................................................................................................10 

Berechnung der geldgewichteten Rendite.......................................................................................................................................................................................10 

Berechnung der mathematisch korrekten Realrendite....................................................................................................................................................................11 

Berechnung der ungefähren Realrendite (Annäherungsberechnung).............................................................................................................................................11 

Berechnung des Emissionspreises bei einer Geldmarktbuchforderung..........................................................................................................................................11 

Berechnung der Jahresrendite bei vorhandenem Emissionspreis ...................................................................................................................................................11 

Periodenrendite einer Obligation.....................................................................................................................................................................................................12 

Couponrendite einer Obligation.......................................................................................................................................................................................................12 

Preisrendite einer Obligation ...........................................................................................................................................................................................................12 

Direkte Rendite einer Obligation......................................................................................................................................................................................................12 

Berechnung der Verfallrendite nach Praktikermethode (guter Schätzwert) ...................................................................................................................................13 


Berechnung der Verfallrendite (Annäherungsberechnung)............................................................................................................................................................13 

Berechnung der exakten Verfallrendite ...........................................................................................................................................................................................13 

Marchzinsberechnung bei einer Obligation .....................................................................................................................................................................................14 

Wandelpreis einer Wandelobligation...............................................................................................................................................................................................14 

Wandelparität einer Wandelobligation............................................................................................................................................................................................14 

Wandelprämie über eine Wandelobligation....................................................................................................................................................................................14 

Wandelprämie über eine Wandelobligation auf Jahresbasis...........................................................................................................................................................15 

Renditebereinigtes Kursrisiko einer Wandelobligation....................................................................................................................................................................15 

Optionsparität einer Optionsobligation ...........................................................................................................................................................................................15 

Optionsprämie über eine Optionsobligation....................................................................................................................................................................................15 

Optionsprämie über eine Optionsobligation auf Jahresbasis ..........................................................................................................................................................16 

Barwertberechnung einer Obligation...............................................................................................................................................................................................16 

Berechnung des ungefähren Barwertes einer Obligation (Annäherungsberechnung)....................................................................................................................16 

Berechnung der Macaulay Duration ................................................................................................................................................................................................16 

Berechnung der Modified Duration .................................................................................................................................................................................................17 

Berechnung der approximativen Preisänderung einer Obligation..................................................................................................................................................17 

Aussagekraft der approximativen Preisänderung ...........................................................................................................................................................................18 

Berechnung des Break-even-Wechselkurses ...................................................................................................................................................................................18 

Berechnung der Währungsrendite...................................................................................................................................................................................................18 

Berechnung der währungsbereinigten Gesamtrendite....................................................................................................................................................................19 

Berechnung Wert Bezugsrecht bei einer Aktienkapitalerhöhung....................................................................................................................................................19 

Berechnung theoretischer Aktienkurs nach Kapitalerhöhung .........................................................................................................................................................20 

Gewinnrendite einer Aktie ...............................................................................................................................................................................................................20 

Payout-Ratio einer Gesellschaft .......................................................................................................................................................................................................20 

Dividendenrendite einer Aktie .........................................................................................................................................................................................................21 

Cash-Flow Rendite einer Aktie .........................................................................................................................................................................................................21 

Eigenkapitalrendite einer Aktie........................................................................................................................................................................................................21 


Kurs-Gewinn-Verhältnis (KGV / PE) mit aktuellem Gewinn .............................................................................................................................................................22 

Kurs-Gewinn-Verhältnis (KGV / PE) mit zukünftigem Gewinn (Gewinnschätzung) .........................................................................................................................22 

Kurs-Gewinn-Verhältnis unter Berücksichtigung des künftigen Gewinnwachstumes (in % ausgedrückt) (PEG; Price-Earnings to Growth Ratio) ........................22 

Kurs-Umsatz-Verhältnis (KUV / PS) ..................................................................................................................................................................................................23 

Kurs-Buchwert-Verhältnis (KUB / PB)...............................................................................................................................................................................................23 

Kurs-Substanzwert-Verhältnis (KSV).................................................................................................................................................................................................23 

Sparplanberechnung nachschüssig (Jahresprämie) .........................................................................................................................................................................23 

Sparplanberechnung nachschüssig (Monatsprämie) ......................................................................................................................................................................24 

Sparplanberechnung vorschüssig (Jahresprämie)...........................................................................................................................................................................24 

Sparplanberechnung vorschüssig (Monatsprämie).........................................................................................................................................................................24 

Erforderliche nachschüssige Sparquote (auf Jahresbasis) für bestimmten Endwert.......................................................................................................................25 

Erforderliche nachschüssige Sparquote (auf Monatsbasis) für bestimmten Endwert.....................................................................................................................25 

Erforderliche vorschüssige Sparquote (auf Jahresbasis) für bestimmten Endwert .........................................................................................................................25 

Erforderliche vorschüssige Sparquote (auf Monatsbasis) für bestimmten Endwert.......................................................................................................................26 

Kapitalbedarf für gewünschte Rente (nachschüssig auf Jahresbasis) über einen bestimmten Zeitraum (Annuität) ....................................................................26 

Kapitalbedarf für gewünschte Rente (nachschüssig auf Monatsbasis) über einen bestimmten Zeitraum (Annuität)..................................................................26 

Kapitalbedarf für gewünschte Rente (vorschüssig auf Jahresbasis) über einen bestimmten Zeitraum (Annuität).......................................................................27 

Kapitalbedarf für gewünschte Rente (vorschüssig auf Monatsbasis) über einen bestimmten Zeitraum (Annuität) ....................................................................27 

Rentenhöhe (nachschüssig auf Jahresbasis) bei vorhandenem Kapital über einen bestimmten Zeitraum ...................................................................................27 

Rentenhöhe (nachschüssig auf Monatsbasis) bei vorhandenem Kapital über einen bestimmten Zeitraum ................................................................................28 

Rentenhöhe (vorschüssig auf Jahresbasis) bei vorhandenem Kapital über einen bestimmten Zeitraum......................................................................................28 

Rentenhöhe (vorschüssig auf Monatsbasis) bei vorhandenem Kapital über einen bestimmten Zeitraum...................................................................................28 

Berechnung der Sharpe Ratio...........................................................................................................................................................................................................29 

Berechnung der Treynor Ratio .........................................................................................................................................................................................................29 

Berechnung des Jensen’s Alpha .......................................................................................................................................................................................................29 

Berechnung der Information Ratio...................................................................................................................................................................................................30 

Berechnung der Portfoliorendite, bezogen auf das Marktrisiko......................................................................................................................................................30 


Berechnung des Portfoliobetas ........................................................................................................................................................................................................30 

Innerer Wert pro Calloption (bei Ratio) ...........................................................................................................................................................................................31 

Innerer Wert pro Calloption (bei Bezugsverhältnis)........................................................................................................................................................................31 

Zeitwert pro Calloption ....................................................................................................................................................................................................................31 

Innerer Wert pro Putoption (bei Ratio)............................................................................................................................................................................................31 

Innerer Wert pro Putoption (bei Bezugsverhältnis) ........................................................................................................................................................................32 

Zeitwert pro Putoption.....................................................................................................................................................................................................................32 


WAS FORMEL ZAHLENBEISPIEL 

Umrechnung von einfache in stetige Rendite 

ln(1 + R) = stetige Rendite 

ln(1 + 0.0877) = 0.08406 = 8.41% 

ln = logarithmus naturalis 

R = einfache Periodenrendite in mathematischer 

Schreibweise; Beispiel 8.77% = 0.0877 

Umrechnung von stetige in einfache Rendite 

e = euler’sche Zahl (2.71828182846) 

stetige Rendite in mathematischer 


e 

stetige Rendite 

−1 

= einfache Rendite e 0.08406 −1 

= 0.08769 = 8.77% 

Zinseszinsberechnung (Zukunftswert oder 

auch Future Value) bei einfachen Renditen 

⋅ ( 1 R) n 

3 

100 ⋅ ( 1+ 

0.0275) = 108.478 = 108. 48 

B + 

B = Barwert, im Beispiel 100 

n = Gesamtlaufzeit, im Beispiel 3 Jahre 

R = einfache Rendite, im Beispiel 2.75%, 

geschrieben in mathematischer Schreibweise 

= 0.0275 

Zinseszinsberechnung bei stetigen Renditen 

B = Barwert, im Beispiel 100 


R = einfache Rendite, im Beispiel 2.75%, dies 

entspricht einer stetigen Rendite von 

2.713% 

r = stetige Rendite, im Beispiel 2.713% = 2.713 

B + r ⋅ n 

100 

+ 2.713⋅ 

3 = 108.139 = 108. 14 

e 0.0814 −1 

= 0.08480 = 8.48% 



Barwertberechnung (Gegenwartswert oder 

auch Present Value) auf Grund künftigem 

Kapitalbedarf (einfache Werte) 

K 

108.48 

( 1+ R) n 

( 1+ 

0.0275) 

3 = 

100 

K = Kapitalbedarf zum Zeitpunkt X (Zukunft), 

im Beispiel CHF 108.48 


R = einfache Rendite (Diskontierungssatz), 

im Beispiel 2.75%, geschrieben in mathematischer 

Schreibweise = 0.0275 

Barwertberechnung auf Grund künftigem 

Kapitalbedarf (stetige Werte) 

K − r ⋅ n 

108 .15 − 2.718 ⋅3 

= 100 

K = Kapitalbedarf zum Zeitpunkt X (Zukunft), 

im Beispiel CHF 108.13 


R = einfache Rendite (Diskontierungssatz), 

im Beispiel 2.75%, dies entspricht einer 

stetigen Rendite von 2.71% = 2.71 

r = stetige Rendite, im Beispiel 2.71% = 2.71 

Berechnung der einfachen Gesamtrendite 

Endkapital 

Anfangskapital 

111.11 

− 1 

−1 

= 0.11110 = 11.11% 

100 

Berechnung der stetigen Gesamtrendite 

LN = logarithmus naturalis 

ln ⎛ Endkapital ⎞ 

⎛111.11⎞ 

⎜ 

⎟ 

ln ⎜ ⎟ = 0.10535 = 10.54% 

⎝ Anfangskapital 

100 

⎠ 

⎝ ⎠ 

e 0.10535 −1 

= 0.11109 = 11.11% 



Berechnung der einfachen durchschnittlichen 

Jahresrendite (Überjährigkeit) 


⎛ 

⎜ 

⎝ 

Endkapital 


⎞ 

⎟ 

⎠ 

( 1/n ) 

−1 

oder 

( ) 

⎛ 111.11 ⎞ 

1/3 

⎜ ⎟ −1 

= 0.03574 3.57% 

⎝ 100 ⎠ 

= 

n 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

Endkapital ⎞ 

−1 


⎟ 

⎠ 

⎛111.11⎞ 

⎜ ⎟ −1 

= 0.03574 

⎝ 100 ⎠ 

3 = 

3.57% 

Berechnung der stetigen durchschnittlichen 

Jahresrendite (Überjährigkeit) 


⎛ 

ln⎜ 

⎝ 

Endkapital 


n 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎛111.11⎞ 

ln⎜ 

⎟ 

⎝ ⎠ 

100 

3 

= 0.03511 = 3.51% 

e 0.03511 −1 

= 0.03573 = 3.57% 

Berechnung der einfachen durchschnittlichen 

Jahresrendite (Unterjährigkeit) 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

Endkapital 


⎞ 

⎟ 

⎠ 

n 

−1 

⎛ 111.11 ⎞ 

3 

⎜ ⎟ −1 

= 0.37170 37.17% 

⎝ 100 ⎠ 

= 

n = Zeitperiode für Jahresbasis 

im Beispiel 4 Monate (3 x 4 = 12 Monate) 

Berechnung der stetigen durchschnittlichen 

Jahresrendite (Unterjährigkeit) 

n = Zeitperiode für Jahresbasis 

im Beispiel 4 Monate (3 x 4 = 12 Monate) 

⎛111.11⎞ 

⎛ Endkapital ⎞ 

ln ⎜ ⎟ ⋅3 

= 0.31605 = 31.61% 

ln⎜ 

⎟ ⋅ Zeitperiode 

⎝ 100 ⎠ 

⎝ Anfangskapital ⎠ 

e 0.31605 −1 

= 0.37169 = 37.17% 



Unterschiedliche einfache Periodenrenditen; 

Berechnung der einfachen Gesamtrendite 

( + R ) ⋅ ( 1+ 

R ) ⋅... 

⋅ ( 1+ 

R ) −1 

( 1 + 0.0375) ⋅ ( 1+ 

0.0425) −1= 

0.08159 = 8.16% 

1 

Z1 

Z2 

ZN 



4.25% = 0.0425 

Unterschiedliche stetige Periodenrenditen; 

Berechnung der stetigen Gesamtrendite 

R= einfache Periodenrendite in mathematischer 


4.25% = 0.0425 

( 1+ R ) + ln( 1+ 

R ) + ... + ln( 1 R ) ln ( 1+ 

0.0375) + ln( 1+ 

0.0425) = 0.07843 = 7.84% 

ln + 

Z1 

Z2 

ZN 

e 0.0784 −1 

= 0.08155 = 8.16% 

oder wenn bereits stetige Renditen vorhanden sind 

r = stetige Periodenrendite in mathematischer 


4.16% = 0.0416 

r + r + ... + r 

0 .0368 + 0.0416 = 0.0784 = 7.84% 

Z1 

Z2 

ZN 

e 0.0784 −1 

= 0.08155 = 8.16% 



Berechnung der zeitgewichteten 

Durchschnittsrendite 



4.25% = 0.0425 

n = Zeitperiode für Jahresbasis, im Beispiel 3.75 

(entspricht 3 Jahren und 9 Monaten, da 

9/12 = 0.75 + 3 = 3.75) 

n 

( 1+ R ) ⋅ ( 1+ 

R ) ⋅... 

⋅ ( 1+ 

R ) −1 

3.75 ( 1+ 

0.0375) ⋅ ( 1+ 

0.0425) −1= 

0.02113 = 2.11% 

Z1 

Z2 

ZN 

Die Zeitrendite ist um die Zahlungsströme bereinigt und widerspiegelt ausschliesslich den erwirtschafteten durchschnittlichen Ertrag auf dem schwankenden 

Vermögensbestand im Zeitablauf. Die zeitgewichtete Gesamtrendite errechnet sich analog der Berechnung einer einfachen Gesamtrendite. 

Berechnung der geldgewichteten Rendite 

Die formale Darstellung ist wie folgt: 

K 

T−t 

T−1 

( 1+ 

IRR ) + Transaktionen ⋅ ( 1 ) T 

∑ + 

1 

= K 

0 

⋅ 

IRR 

t= 

1 

Ein professioneller Taschenrechner übernimmt 

den Iterationsprozess (Annäherungsprozess) und 

berechnet die Geldrendite. Ohne einen solchen 

Taschenrechner ist mittels Schätzungen der 

Iterationsprozess selbst durchzuführen. 

Bei der Geldrendite wird das Anfangsvermögen ( K 

0 

) und alle bis zum Stichtag angefallenen Transaktionen mit der einen zu bestimmenden Geldrendite (IRR) 

aufgezinst, sodass die Endsumme ( K 

1 

) dieser Transaktionen dem Portfolio-Endwert entspricht. 



( 1 + R) 

−1 

= Realrendite 

( 1+ 

0.0535 ) −1 

= 

( 1+ 

I) 

( 1+ 

0.0221) 

Berechnung der mathematisch korrekten 

Realrendite 

R = Zinssatz in mathematischer 


I = Inflationsrate in mathematischer 


0.03072 = 3.07% 

Berechnung der ungefähren Realrendite 

(Annäherungsberechnung) 

R − I ≈ Realrendite 

5.35% 

− 2.21% ≈ 3.14% 

R = Zinssatz , Beispiel 5.35% 

I = Inflation, Beispiel 2.21% 

Berechnung des Emissionspreises bei 

einer Geldmarktbuchforderung 

R = gewünschte Jahresrendite in 

mathematischer Schreibweise, 

im Beispiel = 2.75% = 0.0275 

T = Laufzeit der Geldmarktbuchanlage, 

im Beispiel 270 Tage = 270 

100 

⎛ Tage ⋅ R 

1+ 

⎜ 

⎝ 360 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

100 

= 97.979% = 97.98% 

⎛ 270 ⋅ 0.0275 ⎞ 

1+ 

⎜ 

⎟ 

⎝ 360 ⎠ 

Berechnung der Jahresrendite bei 

vorhandenem Emissionspreis 

Rückzahlungspreis ist in aller Regel zu 100% 

Emissionspreis im Beispiel = 97.98% 

Laufzeit im Beispiel = 270 Tage 

Rückzahlungspreis - Emissionspreis 100 - 97.98 

Emissionspreis 

97.98 

⋅ 360 

⋅360 

= 0.02748 = 2.75% 

Laufzeit der Geldmarktbuchanlage 

270 



Periodenrendite einer Obligation 

Endkurs im Beispiel 101.50% = 101.50 

Anfangskurs im Beispiel 100.75% = 100.75 

C = Coupon, im Beispiel 3% = 3 

Endkurs − Anfangskurs + C 

Anfangskurs 

101.50 −100.75 

+ 3 

= 0.03722 = 3.72% 

100.75 

Couponrendite einer Obligation 


Obligationenkurs vor einem Jahr im 

Beispiel 100.75% = 100.75 

C 

Obligationenkursvor 

einemJahr 

3 

100.75 

= 0.02977 = 2.98% 

Preisrendite einer Obligation 

Preis Endperiode im Beispiel 101.50% = 101.50 

Preis Anfangsperiode im Beispiel 100.75% = 100.75 

PreisEndperiode- PreisAnfangsperiode 

PreisAnfangsperiode 

101.50-100.75 

= 0.00744 = 0.74% 

100.75 

Direkte Rendite einer Obligation 


Aktueller Obligationenkurs 

im Beispiel 101.50% = 101.50 

C 

aktueller Obligationenkurs 

3 

= 0.02955= 

2.96% 

101.50 



Berechnung der Verfallrendite nach 

Praktikermethode (guter Schätzwert) 


Rückzahlungspreis im Beispiel 100% = 100 

Tagespreis; im Beispiel 105.77% = 105.77 

n = Restlaufzeit, im Beispiel 3 Jahre = 3 

Rückzahlungspreis- Tagespreis 

C + 

n 

Rückzahlungspreis + Tagespreis 

2 

100 -105.77 

4 + 

3 

100 + 105.77 

2 

= 0.02018 = 2.02% 

Berechnung der Verfallrendite 

(Annäherungsberechnung) 

Rückzahlungspreis − Tagespreis 

100 −105.77 

C + 4 + 

= 2.076 = 2.08% 

n 

3 


Rückzahlungspreis im Beispiel 100% = 100 

Tagespreis im Beispiel 105.77% = 105.77 

n = Restlaufzeit, im Beispiel 3 Jahre = 3 

Berechnung der exakten Verfallrendite C C 

C C + R Eingabe im HP wie folgt: 

+ + ... + + 

(iterativer Prozess, professionellen Taschen- ( 1+ 

V) ( 1+ 

V) n 

( 1+ 

V) n 

( 1+ 

V) n Barwert = -105.77 

rechner einsetzen) Endwert = 100 

Rate = 4 

C = Coupon Laufzeit = 3 

V = gesuchte Verfallrendite Modus = End 

n = Laufzeit Auflösung nach i = 1.999 = 2.00% 

R = Rückzahlungspreis 

Im HP17 ist die Auflösung auch im Bondrechner möglich. 



Marchzinsberechnung bei einer Obligation 

N = Nominalwert, im Beispiel CHF 100‘000 

C = Coupon, im Beispiel 4% = 0.04 

n = Laufzeit, im Beispiel 165 Tage 

N ⋅ C ⋅ n 

360 

100'000⋅ 

0.04 ⋅165 

= 1'833.33 

360 

Wandelpreis einer Wandelobligation 

Notwendiger Nominalbetrag im Beispiel 

CHF 5‘000.00 = 5‘000 

Anzahl Basiswerte im Beispiel 8.725 

Notwendiger Nominalbetrag 

AnzahlBasiswerte 

5'000 

8.725 

= 573.065 = 573.07 

Wandelparität einer Wandelobligation 

NN = Notwendiger Nominalbetrag, 

im Beispiel CHF 5‘000.00 = 5‘000 

Obligationenkurs im Beispiel 102% = 1.02 

Anzahl Basiswerte im Beispiel 8.725 

NN ⋅ Obligationenkurs 

Anzahl Basiswerte 

5'000 ⋅1.02 

= 584.527 = 584.53 

8.725 

Wandelprämie über eine Wandelobligation 

Wandelparität im Beispiel 584.53 

Börsenkurs Basiswert im Beispiel 525.00 

Wandelparität 

BörsenkursBasiswert 

584.53 

− 1 

−1 

= 0.11339 = 11.34% 

525.00 



Wandelprämie über eine Wandelobligation 

auf Jahresbasis 

Wandelparität im Beispiel 11.34% = 0.1134 

(Rest)-Laufzeit 3 Jahre und 9 Monate = 3.75 

Wandelprämie 

(Rest)- Laufzeit Wandeloblig ation 

0.1134 

= 0.03024 = 3.02% 

3.75 

Renditebereinigtes Kursrisiko einer 

Wandelobligation 

Kurs der Wandelobligation im Beispiel 

102% = 1.02 

Barwert im Beispiel 98% = 0.98 

Kurs der Wandelobligation - Barwert 

Kurs der Wandelobligation 

1.02 - 0.98 

= 0.03921 = 3.92% 

1.02 

Optionsparität einer Optionsobligation 

Anzahl Optionen ⋅ OP + A 

50 ⋅ 0.75 + 212.50 = 

250.00 

Anzahl Optionen, im Beispiel 50 

OP = Optionspries, im Beispiel 0.75 

A = Ausübungspreis, im Beispiel 212.50 

Optionsprämie über eine Optionsobligation 

Optionsparität im Beispiel 250.00 

Börsenkurs Basiswert im Beispiel 230.00 

Optionsparität 

Börsenkurs Basiswert 

250.00 

− 1 

−1 

= 0.08695 = 8.70% 

230.00 



Optionsprämie über eine Optionsobligation 

auf Jahresbasis 

Optionsprämie im Beispiel 8.70% = 0.0870 

(Rest)-Laufzeit 4 Monate und 3 Tage = 0.3417 

Optionsprämie 

(Rest)- Laufzeit der Optionsobligation 

0.0870 

= 0.25460 = 25.46% 

0.3417 

Barwertberechnung einer Obligation 


i = aktueller Marktzins, im Beispiel 2% = 0.02 

n = Laufzeit, im Beispiel 3 Jahre 

Rückzahlungspreis ist in aller Regel 100% 

C ⋅ 

n 

( 1+ 

i) 

−1 

+ 

( 1+ 

i) n 

⋅i 

( 1+ 

i) n 

Rückzahlungspreis 

3 

( 1+ 

0.02) 

−1 

100 

+ 

3 

( 1+ 

0.02) ⋅ 0.02 ( 1+ 

0.02) 

4 ⋅ 

3 

= 105.767 = 105.77% 

Berechnung des ungefähren Barwertes 

einer Obligation (Annäherungsberechnung) 

( C - i) ⋅ n + Rückzahlungspreis 

( 4 - 2) ⋅3 

+ 100 = 106 ≈106% 




Rückzahlungspreis ist in aller Regel 100% 

Berechnung der Macaulay Duration 


n = Laufzeit, im Beispiel 3 Jahre = 3 


R = Rückzahlungspreis, im Beispiel 100% 

1 

+ i n ⋅ C + R ⋅ ( 1+ 

i - n ⋅i) 

1+ 

0.02 3⋅ 

4 + 100 ⋅ ( 1+ 

0.02 - 3⋅ 

0.02) 

− 

− 

n 

i C ⋅ ( 1+ 

i) 

−1 

+ R ⋅ 

0.02 4 ⋅ ( 1+ 

0.02) 

−1 

+ 100 ⋅ 0.02 

( ) i 

( ) 

= 2.889 = 2.89 Jahre 

3 



Berechnung der Modified Duration 

D = Macaulay Duration, im Beispiel 2.89 

Y = bisherige Verfallrendite, im Beispiel 2% = 0.02 

D 

1+ 

Y 

2.89 

= 2.833 = 2.83 

1.02 

Berechnung der approximativen 

Preisänderung einer Obligation 

− M ⋅ a 

− 2.83⋅ 

0.25 = −0.7075 

= −0.71% 

M = Modified Duration, im Beispiel 2.83 

a = Anpassung der Verfallrendite, im Beispiel erhöht sich die Verfallrendite um 0.25% 

Berechnung der approximativen 

Preisänderung einer Obligation 

− M ⋅ a 

− 2 .83⋅ 

−0.25 

= 0.7075 = 0.71% 

M = Modified Duration, im Beispiel 2.83 

a = Anpassung der Verfallrendite, im Beispiel reduziert sich die Verfallrendite um 0.25% 

Merke: Für die Berechnung wird die Modified Duration immer mit einem Minuszeichen verwendet. Dies ist auf die mathematischen Gegebenheiten zurückzuführen. 



Aussagekraft der approximativen 

Preisänderung 

B ⋅ 

( 1− 

P) 

( 1− 

0.0071) = 105.019 105.02% 

105 .77 ⋅ 

= 

B = Barwert in %, im Beispiel 105.77% Der Barwert von 105.77% reduziert sich bei einer 

P = Preisänderung, im Beispiel -0.71% = -0.0071 Erhöhung der Verfallrendite von 0.25% um – 0.71%, in 

diesem Beispiel auf 105.02% 

B = Barwert in %, im Beispiel 105.77% 

P= Preisänderung, im Beispiel 0.71% = 0.0071 

( 1 P) 

B ⋅ + 

( 1+ 

0.0071) = 106.520 106.52% 

105 .77 ⋅ 

= 

Der Barwert von 105.77% erhöht sich bei einer 

Reduktion der Verfallrendite von 0.25% um 0.71%, in 

diesem Beispiel auf 106.520 = 106.52% 

Berechnung des Break-even-Wechselkurses 

R = Rendite in mathematischer Schreibweise, 

im Beispiel für CHF 2.75% (0.0275) und für 

FW 5.55% (0.0555) 

n = Restlaufzeit, im Beispiel 6 Jahre 

aW = aktueller Brief-Wechselkurs, 

im Beispiel 1.5197 

Jahre 

( 1+ i ) 

( 1+ 

0.0275) 

CHF 

⋅ aW 

Jahre 

( 1+ 

i ) 

( 1+ 

0.0555) 

FW 

6 

6 

⋅1.5197 

= 1.2933 

Berechnung der Währungsrendite 

W 

t 

= aktueller Wechselkurs, im Beispiel 1.0925 

W − 

= Wechselkurs im Kaufzeitpunkt 

t 1 


W 

W 

t 

t−1 

−1 

1.0925 

−1= 

- 0.10867 = -10.87% 

1.2257 



Berechnung der währungsbereinigten 

Gesamtrendite 

[( + R ) ⋅ ( 1+ 

R )] −1 

[( 1 + 0.1087) ⋅ ( 1− 

0.1087) 

] −1 

= -0.01181 = -1.18% 

1 

i 

w 

R 

i 

= Lokalrendite, im Beispiel 10.87% = 0.1087 

R = Währungsrendite, im Beispiel -10.87% = -0.1087 

w 

Berechnung Wert Bezugsrecht bei einer 

Aktienkapitalerhöhung 

aktueller Börsenkurs - KB 

(BV) + 1 

49.50 - 42.00 

(13 : 2) 

+ 1 

= 1.00 

Aktueller Börsenkurs, im Beispiel 49.50 

KB = Bezugspreis für neue Aktie, 


BV = Bezugsverhältnis, im Beispiel 13:2 oder 

aB = aktueller Börsenkurs, im Beispiel 49.50 

AaA = Anzahl Alter Aktien, im Beispiel 13 

AnA = Anzahl neuer Aktien, im Beispiel 2 

BP = Bezugspreis für die neue Aktie, 


aB − 

(AaA ⋅ aB + AnA 

AaA + AnA 

⋅ 

BP) 

(13 ⋅ 49.50 + 2 ⋅ 42.00) 

49 .50 − 

= 1.00 

13 + 2 



Berechnung theoretischer Aktienkurs 

nach Kapitalerhöhung 

(AaA ⋅ aB + AnA 

AaA + AnA 

⋅ 

BP) 

(13 

⋅ 

49.50 + 2 

13 + 2 

⋅ 

42.00) 

= 48.50 

AaA = Anzahl Alter Aktien, im Beispiel 13 


AnA = Anzahl neuer Aktien, im Beispiel 2 


im Beispiel 42.00 oder 

BV = Bezugsverhältnis, im Beispiel 13:2 




BV ⋅ aB + BP 

(BV) + 1 

(13 : 2) 

⋅ 49.50 + 42 

= 48.50 

+ 1 

(13 : 2) 

Gewinnrendite einer Aktie 

Gewinn im Beispiel 6.25 

Börsenkurs im Beispiel 101.35 

Gewinn 

Börsenkurs 

(pro Aktie) 

(pro Aktie) 

6.25 

101.35 

= 0.06166 = 6.17% 

Payout-Ratio einer Gesellschaft 

Bruttodividende im Beispiel 2.75 

Gewinn pro Aktie im Beispiel 6.25 

Bruttodividende 

Gewinn 

(proAktie) 

(proAktie) 

= 0.40= 

40.00% 

2.75 

= 0.44 = 44.00% 

6.25 



Dividendenrendite einer Aktie 

Bruttodividende im Beispiel 2.75 


Bruttodivi dende(proAktie) 

= 0.02713 = 2.71 % 

Börsenkurs 

(proAktie) 

2.75 

101.35 

Cash-Flow Rendite einer Aktie 

Cash-Flow im Beispiel 7.35 


Eigenkapitalrendite einer Aktie 

Gewinn pro Aktie im Beispiel 6.25 

Durchschnittliches Eigenkapital 

pro Aktie im Beispiel 62.50 

Cash Flow 

Börsenkurs 

(proAktie) 

(proAktie) 

Gewinn 

proAktie 

Durchschni ttlichesEigenkapit al 

(proAktie) 

7.35 

= 0.07252= 

7.25% 

101.35 

6.25 

= 0.10 = 10.00% 

62.50 



Kurs-Gewinn-Verhältnis (KGV / PE) 

mit aktuellem Gewinn 

Börsenkurs 

Gewinn 

(pro Aktie) 

(pro Aktie) 


Gewinn im Beispiel 6.25 

(anstelle des Gewinnes kann auch der Cash Flow 

pro Aktie eingesetzt werden, da diese weniger 

manipulierbar ist) oder 

101.35 

= 16.216 ≅ 16.2 

6.25 

Prozentualer Gewinn im Beispiel 

6.1667% = 0.061667 

1 

Prozentual er Gewinn 

(proAktie) 

1 

= 16.216 ≅16.2 

0.061667 

Kurs-Gewinn-Verhältnis (KGV / PE) 

mit zukünftigem Gewinn (Gewinnschätzung) 


Zukünftiger Gewinn im Beispiel 6.85 (Schätzung) 

Börsenkurs 

(proAktie) 

Zukünftigem (geschätzter)Gewinn 

(proAktie) 

101.35 

= 14.795 ≅ 14.8 

6.85 

Kurs-Gewinn-Verhältnis unter 

Berücksichtigung des künftigen 

Gewinnwachstumes (in % ausgedrückt) 

(PEG; Price-Earnings to Growth Ratio) 

P/E im Beispiel 14.8 

Gewinnwachstum im Beispiel 12% = 12 

P/E 

Gewinnwachstum pro Aktie 

14.8 

= 1.233 = 1.23 

12 



Kurs-Umsatz-Verhältnis (KUV / PS) 

Börsenkurs im Beispiel = 101.35 

Umsatz im Beispiel = 25.25 

Börsenkurs 

Umsatz 

pro Aktie 

(pro Aktie) 

101.35 

= 4.013 = 4.01 

25.25 

Kurs-Buchwert-Verhältnis (KUB / PB) 


Buchwert im Beispiel = 155.55 

Kurs-Substanzwert-Verhältnis (KSV) 


Substanzwert im Beispiel = 190.00 

(im Substanzwert sind nebst dem Buchwert 

noch die stillen Reserven enthalten) 

Börsenkurs 

Buchwert 

Börsenkurs 

Substanzwert 

(pro Aktie) 

(pro Aktie) 

pro Aktie 

(pro Aktie) 

101.35 

= 0.651 = 0.65 

155.55 

101.35 

= 0.533 = 0.53 

190.00 

Sparplanberechnung nachschüssig 

(Jahresprämie) 

R = einfache Jahresrendite, im Beispiel 

3.75% = 0.0375 


S = Jährlicher Sparbetrag, im Beispiel 4‘800.00 

n 

( 1+ R) 

−1 

( 1+ 

0.0375) 

R 

⋅S 

0.0375 

20 

−1 

⋅ 4'800.00 = 139'283.46 



240 

n 

( 1 R) 

( 1+ 

0.003125) 

−1 

+ −1 

Sparplanberechnung nachschüssig 

(Monatsprämie) 

R = einfache Monatsrendite, im Beispiel 

0.3125% = 0.003125 0.0375/12 

n = Laufzeit, im Beispiel 240 Monate (20 Jahre) 

S = Monatlicher Sparbetrag, im Beispiel 400.00 

R 

⋅S 

0.003125 

⋅ 400.00 = 142'659.30 

Sparplanberechnung vorschüssig 

(Jahresprämie) 


3.75% = 0.0375 


S = Jährlicher Sparbetrag, im Beispiel 4‘800.00 

Sparplanberechnung vorschüssig 

(Monatsprämie) 

n 

( 1+ R) 

−1) ⋅ ( 1+ 

R) ( 1+ 

0.0375) 

⋅ S 

R 

20 

( −1) ⋅ ( 1+ 

R) 

0.0375 

n 

( 1+ R) 

−1) ⋅ ( 1+ 

R) ⋅ S 

( 1+ 

0.003125) 

R 

240 

( −1) ⋅ ( 1+ 

0.003125) 

0.003125 

⋅ 4'800.00 = 144'506.59 

⋅ 400.00 = 143' 105.11 


0.3125% = 0.003125 0.0375/12 

n = Laufzeit, im Beispiel 240 Monate (20 Jahre) 

S = Monatlicher Sparbetrag, im Beispiel 400.00 



Erforderliche nachschüssige Sparquote 

(auf Jahresbasis) für bestimmten Endwert 


3.75% = 0.0375 


bE= bestimmter Endwert, im Beispiel 139‘283.46 

R 

⋅ 

( 1 R) 

1) bE 

n 

+ − 

( 1+ 

0.0375) 

0.0375 

⋅139'283.46 

= 4'800.00 

20 

( −1) 

Erforderliche nachschüssige Sparquote 

(auf Monatsbasis) für bestimmten Endwert 

R 

⋅ 

( 1 R) 

1) bE 

n 

+ − 

( 1+ 

0.003125) 

0.003125 

⋅142'659.30 

= 400.00 

240 

( −1) 


0.3125% = 0.003125 0.0375/12 

n = Laufzeit, im Beispiel 240 Monate 


Erforderliche vorschüssige Sparquote 

(auf Jahresbasis) für bestimmten Endwert 

R 

⋅ 

( 1 R) 

1) ( 1 R) bE 

n 

+ − ⋅ + 

( 1+ 

0.0375) 

0.0375 

⋅144'506.56 

= 4'800.00 

20 

( −1) ⋅ ( 1+ 

0.0375) 


3.75% = 0.0375 





Erforderliche vorschüssige Sparquote 

(auf Monatsbasis) für bestimmten Endwert 


0.3125% = 0.003125 0.0375/12 



R 

⋅ 

( 1 R) 

1) ( 1 R) bE 

n 

+ − ⋅ + 

( 1+ 

0.003125) 

0.003125 

⋅ 143' 105.11 = 400.00 

240 

( −1) ⋅ ( 1+ 

0.003125) 

Kapitalbedarf für gewünschte Rente 

(nachschüssig auf Jahresbasis) über einen 

bestimmten Zeitraum (Annuität) 

n 

( 1+ R) 

−1 

( 1+ 

0.0375) 

⋅ RB 

n 

20 

( 1+ 

R) 

⋅ R 

( 1+ 

0.0375) 

⋅ 

20 

−1 

⋅ 24'000.00 = 333'508.90 

0.0375 


3.75% = 0.0375 


RB = Rentenbezug, im Beispiel 24‘000.00 


(nachschüssig auf Monatsbasis) über einen 


n 

( 1+ R) 

−1 

( 1+ 

0.003125) 

⋅ RB 

n 

240 

( 1+ 

R) 

⋅ R 

( 1+ 

0.003125) 

⋅ 

240 

−1 

⋅ 2'000.00 = 337'331.66 

0.003125 


0.3125% = 0.003125 0.0375/12 






(vorschüssig auf Jahresbasis) über einen 



3.75% = 0.0375 



n 

20 

( 1+ R) −1⋅ 

( 1+ 

R) 

( 1+ 

0.0375) −1⋅ 

( 1+ 

0.0375) 

⋅ RB 

n 

20 

( 1+ 

R) 

⋅ R 

( 1+ 

0.0375) 

⋅ 0.0375 

⋅ 24'000.00 = 346'015.48 


(vorschüssig auf Monatsbasis) über einen 


240 

n 

( ) ( ) 

( 1+ 

0.003125) −1⋅ 

( 1+ 

0.003125) 

1+ R −1⋅ 

1+ 

R 

⋅ RB 

240 

n 

( 1+ 

R) 

( 1+ 

0.003125) 

⋅ 0.003125 

⋅ R 

⋅ 2'000.00 = 338'385.82 


0.3125% = 0.003125 0.0375/12 



Rentenhöhe (nachschüssig auf Jahresbasis) 

bei vorhandenem Kapital über einen 

bestimmten Zeitraum 

n 

20 

( 1+ R) 

⋅ R 

( 1+ 

0.0375) 

⋅ 

⋅ K 

n 

( 1+ 

R) 

−1 

( 1+ 

0.0375) 

0.0375 

⋅ 333'508.90 = 24'000.00 

−1 

20 

R = einfache Jahresrendite, im Beispiel 3.75% = 0.0375 


K = vorhandenes Kapital, im Beispiel 333‘508.90 



Rentenhöhe (nachschüssig auf Monatsbasis) 




0.3125% = 0.003125 0.0375/12 



n 

240 

( 1+ R) 

⋅ R 

( 1+ 

0.003125) 

⋅ 

⋅ K 

n 

( 1+ 

R) 

−1 

( 1+ 

0.003125) 

0.003125 

⋅ 337'331.66 = 2'000.00 

240 

−1 

Rentenhöhe (vorschüssig auf Jahresbasis) 



n 

( 1+ R) 

⋅ R 

( 1+ 

0.0375) 

⋅ 

n 

20 

( 1+ 

R) 

−1 

⋅ 1+ 

R 

( 1+ 

0.0375) 

− 

( ) ( ) K 

⋅ 0.0375 

( 1) ⋅ ( 1+ 

0.0375) 

20 

⋅ 346'015.45 = 24'000.00 


3.75% = 0.0375 



Rentenhöhe (vorschüssig auf Monatsbasis) 



n 

( 1+ R) 

⋅ R 

( 1+ 

0.003125) 

⋅ 

240 

n 

( 1+ 

R) 

−1 

⋅ 1+ 

R 

( 1+ 

0.003125) 

( ) ( ) K 

240 

⋅ 0.003125 

( −1) ⋅ ( 1+ 

0.003125) 

⋅ 338'385.82 = 2'000.00 


0.3125% = 0.003125 0.0375/12 





Berechnung der Sharpe Ratio 

r 

i 

= stetige Portfoliorendite, im Beispiel 

6.06% = 0.0606 

r 

f 

= stetiger risikoloser Zinssatz, im Beispiel 

1.98% = 0.0198 

σ = Volatilität, im Beispiel 14.34% = 0.1434 

i 

ri 

− r 

σ 

i 

f 

0.0606 − 0.0198 

= 0.2845 = 0.28 

0.1434 

Berechnung der Treynor Ratio 

r 

i 


6.06% = 0.0606 

r 

f 


1.98% = 0.0198 

β = Portfoliobeta, im Beispiel 1.04 

i 

ri 

− r 

β 

i 

f 

0.0606 − 0.0198 

= 0.03923 = 3.92% 

1.04 

Berechnung des Jensen’s Alpha 

r 

i 


6.06% = 0.0606 

r 

f 


1.98% = 0.0198 

β 

i 

= Portfoliobeta, im Beispiel 1.04 

r 

m 

= stetige Benchmarkrendite, im Beispiel 

6.53% = 0.0653 

r 

i 

− ( r + β ⋅ ( r − r )) 

0.0606 − ( 0.0198 + 1.04 ⋅ ( 0.0653 − 0.0198) 

) 

f 

i 

m 

f 

− 0.00652 = −0.65% 

= 



Berechnung der Information Ratio 

r 

i 


6.06% = 0.0606 

r = stetige Benchmarkrendite, im Beispiel 

b 

6.53% = 0.0653 

TE = Tracking Error, im Beispiel 8.25% = 0.0825 

i 

r − r 

i 

TE 

i 

b 

0.0606 − 0.0653 

= −0.056 

= −0.06 

0.0825 

Berechnung der Portfoliorendite, bezogen 

auf das Marktrisiko 

Portfoliobeta 

⋅ BR 

1.08 ⋅ 0.0675 = 0.0729 = 7.29% 

Portfoliobeta, im Beispiel 1.08 

BR = Benchmarkrendite, im Beispiel 6.75% = 0.0675 

Berechnung des Portfoliobetas 

β = Beta, im Beispiel A = 1.07 und B = 0.93 

DW = Depotwert, im Beispiel A = 100 und B = 200 

GDW = Gesamtdepotwert, im Beispiel 300 

β 

A 

⋅ DWA 

+ β 

B 

⋅ DW 

1.07 ⋅100 

+ 0.93⋅ 

200 

B 

= 0.9766 ≅ 0. 98 

GDW 

300 

oder 

Formal kann die Berechnung des Portfoliobetas 

auch wie folgt dargestellt werden: 

β 

Portfolio 

n 

= ∑ Wi 

⋅β 

i 

i= 

1 

100 200 

⋅1.07 

+ ⋅ 0.93 = 0.9766 ≅ 0.98 

300 300 



Innerer Wert pro Calloption (bei Ratio) 

KB = Kurs Basiswert, im Beispiel 45.00 


R = Ratio, im Beispiel 20:1 

KB − A 

R 

45.00 − 40.00 

= 0.25 

20 

Innerer Wert pro Calloption 

(bei Bezugsverhältnis) 

( KB − A) ⋅ BV 

( 45.00 

− 40.00) ⋅ 0.05 = 0. 25 




Zeitwert pro Calloption 

OP − iW 

0 .40 − 0.25 = 0.15 

OP = Optionsprämie, im Beispiel 0.40 

iW = innerer Wert, im Beispiel 0.25 

Innerer Wert pro Putoption (bei Ratio) 



R = Ratio, im Beispiel 20:1 

A − KB 

45.00 − 40.00 

= 0. 25 

R 

20 



Innerer Wert pro Putoption 

(bei Bezugsverhältnis) 

( A - KB) ⋅ BV 

( 45.00 

− 40.00) ⋅ 0.05 = 0. 25 




Zeitwert pro Putoption 

OP − iW 

0 .40 − 0.25 = 0.15 

OP = Optionsprämie, im Beispiel 0.40 

iW = innerer Wert, im Beispiel 0.25

Formelsammlung Dezember 2010 - IAF Interessengemeinschaft ...

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