Funktionalanalysis: ¨Ubungsblatt 7

Prof. Dr. J. Hilgert
Uni Paderborn
Dr. W. Paravicini WS 2009/2010
Funktionalanalysis: Übungsblatt 7
Aufgabe 7.1. Sei (a n ) n∈N eine beschränkte Folge in K und sei p ∈ [1, ∞].
Definiere
T a : l p → l p , T a (x) := a · x = (a n x n ) n∈N .
Wir wissen aus einer vorangegangenen Aufgabe, dass T a linear und stetig ist.
Zeigen Sie nun: T a ist genau dann kompakt, wenn a eine Nullfolge ist.
Aufgabe 7.2. Der Raum C 1 [0, 1] trage (wie üblich) die Norm ‖f‖ := ‖f‖ ∞ +
‖f ′ ‖ ∞ . Dann ist die Inklusionsabbildung (C 1 [0, 1], ‖ · ‖) → (C[0, 1], ‖ · ‖ ∞ )
kompakt. (Tip: Satz von Ascoli)
Aufgabe 7.3. Sei k ∈ C([0, 1] 2 ). Der Integraloperator T k : C[0, 1] → C[0, 1],
(T k f)(s) :=
∫ s
0
k(s, t)f(t) dt,
heißt dann Volterrascher Integraloperator. Zeigen Sie, dass T k wohldefiniert,
linear und kompakt ist. (Tip: Satz von Ascoli)
Zusatzaufgabe: Zeigen Sie, dass für alle f ∈ C[0, 1] aus T k (f) = f schon f = 0
folgt. (Tip: Zeigen Sie zunächst die Abschätzung |f(s)| ≤ s‖k‖ ∞ ‖f‖ ∞ und
betrachten Sie Tk 2(f), T k 3 (f) ...)
Aufgabe 7.4. Sei H ein Hilbertraum. Seien T : H → H und S : H → H
Abbildungen, die a priori weder stetig noch linear sein müssen, die jedoch die
Gleichung
∀x, y ∈ H : 〈T x, y〉 = 〈x, Sy〉 (1)
erfüllen. Zeigen Sie, dass S linear ist. Zeigen Sie auch, dass S ein abgeschlossener
Operator ist (d.h. aus x n → x und Sx n → y in H folgt Sx = y). Folgern Sie,
dass S stetig ist. (Analog ist auch T linear und stetig.)
Sei schließlich ˜S ∈ L(H) eine weitere Abbildung, welche (1) erfüllt. Zeigen Sie
S = ˜S. (Mit anderen Worten: Die Gleichung (1) legt den adjungierten Operator
T ∗ , welchen Sie in der Vorlesung kennengelernt haben, eindeutig fest.)

Aufgabe 7.5. Sei H ein Hilbertraum und T ∈ L(H) ein stetiger linearer
Operator. Zeigen Sie die Gleichung
‖T ∗ T ‖ op = ‖T ‖ 2 op.
(Tip: Sie können in Ihren Rechnungen die Gleichung ‖T ‖ = ‖T ∗ ‖ benutzen).
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