Grundlagen der Technischen Informatik - Professur Technische ...

Professur Technische Informatik 

Prof. Dr. Wolfram Hardt 

Grundlagen der Technischen 

Informatik 

Kapitel 2: Arithmetik 

Teil1 


Vorlesung Wintersemester 2009/10 

Zusammenfassung 



• Mit n Binärsignalen lassen sich 

– 2 n Werte oder Zeichen 

repräsentieren 

• Beispiel 

• Umgekehrt für m Zeichen werden 

– log 2 

m= ld m Bit benötigt 

• Eine mögliche Redundanz 

bestimmt sich zu 

R = 2 n – m 

• Darstellung von ganzzahligen 

Werten 

n 1 

= ∑ − Z 

i= 

0 

a b 

i 

i 

mit 

a ∈ 

{ 0,1, L, 

b −1} 

Vorlesung 

Wintersemester 2009/10 Grundlagen der Technischen Informatik 2 

1




SI-Präfixe (DIN 1301) 

Binärpräfixe (IEC 60027-2) 

Name 

(Symbol) 

Bedeutung 

Name (Symbol) 

Bedeutung 

Kilobyte (kB) 

10 3 Byte 

Kibibyte (KiB) 

2 10 Byte 

Megabyte (MB) 

10 6 Byte 

Mebibyte (MiB) 

2 20 Byte 

Gigabyte (GB) 

10 9 Byte 

Gibibyte (GiB) 

2 30 Byte 

Terabyte (TB) 

10 12 Byte 

Tebibyte (TiB) 

2 40 Byte 

Petabyte (PB) 

10 15 Byte 

Pebibyte (PiB) 

2 50 Byte 

Exabyte (EB) 

10 18 Byte 

Exbibyte (EiB) 

2 60 Byte 

Zettabyte (ZB) 

10 21 Byte 

Zebibyte (ZiB) 

2 70 Byte 

Yottabyte (YB) 

10 24 Byte 

Yobibyte (YiB) 

2 80 Byte 

Vorlesung 





• Verfahren I: 

Division durch größtmögliche Potenz der Basis des Zielsystems. 

• Bsp: 861 10 

– 861 : 8 3 = Rest 

– 349 : 8 2 = Rest 

– 29 : 8 1 = Rest 

– 5 : 8 0 = Rest Lösung: 861 10 

= 

• Verfahren II: 

Division durch die Basis des Zielsystems. (Horner Schema) 

– 861 : 8 = Rest 

– 107 : 8 = Rest 

– 13 : 8 = Rest 

– 1 : 8 = Rest Lösung: 861 10 

= 

Vorlesung 


2

Übersicht 



• Kapitel 2 

• Zahlendarstellung 

• Konvertierung 

• Negative Zahlen 

– Einerkomplement 

– Zweierkomplement 

• Weitere Darstellungsformen 

• Gleitkommadarstellung 

Vorlesung 


Zahlendarstellung 



• Nachkommastellen? 

• Zahlen: 0 < z < 1 

• Beispiele 

– ______________________ 

– ______________________ 

– ______________________ 

Vorlesung 


3

Zahlendarstellung 



• Darstellung von Vor- und Nachkommastellen 

• ___________________ 

• ______________________ 

• ______________________ 

• ___________________________________________ 

• ___________________________________________ 

Vorlesung 


Übersicht 



• Kapitel 2 








Vorlesung 


4



Konvertierung der Basis 

• Verfahren I: 

Division durch größtmögliche Potenz der Basis des Zielsystems. 

– Umständlich, da erst die Potenz bestimmt werden muss 

• Verfahren II: 

Division durch die Basis des Zielsystems. 

(Ableitung aus dem Horner Schema) 

William George Horner 

(* 1786 in Bristol, † 1837 in Bath) 

war ein britischer Mathematiker 

Vorlesung 




Horner - Schema 

• Idee: 

– _________________________________________________ 

– _________________________________________________ 

p ( x) 

= ((((( a )* x + a )* x + a )* x + a )* x + a )* x + a 

5 5 4 3 2 1 0 

h 0 

1 

= h0 

* x a4 

2 

= h1 

* x a3 

h + 

h + 

h 

3 

= h2 

* x + a2 

h 

4 

= h3 

* x + a1 

h = h * x + a = p5 ( ) 

5 4 

0 

x 

Vorlesung 


5

Horner - Schema: Beispiel 



1 0 1 1 0 0 2 

Vorlesung 


Konvertierung mit Nachkommastellen 



• Verfahren abgeleitet vom Horner Schema 

– __________________________________________________ 

0 .5408 

10 

= X 

16 

0 .5408 

* 16 

= 

8 .6528 

0 .6528 

* 16 

= 10 .4448 

0 .4448 

* 16 

= 

0 .5408 

10 

= 0 .8 A 7 ... 

7 .1168 

0.1168 

*16 usw 

16 

Vorlesung 


6

Konvertierung 



• Hinweis 

– ________________________________________________ 

________________________________________________ 

________________________________________________ 

– ________________________________________________ 

________________________________________________ 

________________________________________________ 

________________________________________________ 

________________________________________________ 

Vorlesung 


Konvertierung 



• Beispiel 

– Konvertiere 179 10 

in Binärdarstellung 

Vorlesung 


7

Addition vorzeichenloser Zahlen 



• Betrachtung der Algorithmen 

• Es gelten die selben (bekannten) Regeln, die auch für die 

manuelle Rechnung mit dezimalen Zahlen gelten. 

X 190 10111110 

Y 141 10001101 

C + 101111000 Übertrag aus vorhergehender Stufe 

X+Y 101001011 

• Hinweis: 

– _____________________________________________________ 

– _____________________________________________________ 

Vorlesung 


Subtraktion vorzeichenloser Zahlen 



• Es gelten die selben (bekannten) Regeln, die auch für die 

manuelle Rechnung mit dezimalen Zahlen gelten. 

X 190 10111110 

Y 141 10001101 

C - 00000010 Übertrag aus 

vorhergehender 

X-Y 49___00110001 Stufe 

Subtraktionsregeln 

• _____ 

• ________________ 

• _____ 

• _____ 

• __________________ 

• __________________ 

• _______ 

• __________________ 

Vorlesung 


8

Übersicht 



• Kapitel 2 








Vorlesung 


Darstellung negativer Zahlen 



• Zahlenbereich identisch mit positiven Zahlen 

• ___________________________________________________ 

– ______________________________ 

– ___________________________________________________ 

• Beispiel: 

3 Bit plus 

1 Vorzeichenbit 

0000 = 0 

0001 = 1 

0010 = 2 

0011 = 3 

0100 = 4 

0101 = 5 

0110 = 6 

0111 = 7 

1000 = - 0 

1001 = - 1 

1010 = - 2 

1011 = - 3 

1100 = - 4 

1101 = - 5 

1110 = - 6 

1111 = - 7 

Vorlesung 


9

Betrag und Vorzeichen 



• Nachteile bei dieser Darstellungsart 

– Darstellung negativer Zahlen ändert sich bei Bereichserweiterung 

-5 als 4-Bit Zahl = ________________ 

-5 als 1-Byte Zahl = _________________ 

-5 als 2-Byte Zahl = ___________________ 

– Addition einer positiven mit einer negativen Zahl funktioniert 

anders als üblich 

___ 

_____________ 

Vorlesung 


Betrag und Vorzeichen 



• Nachteile 

– _____________________________________ 

_____________ 

_____________ 

• Eigenschaften der Darstellung: 

– ____________________________ 

– ________________________________ 

– _________ 

• Verbesserung: 

– Einerkomplement- Darstellung 

Vorlesung 


10

Übersicht 



• Kapitel 2 








Vorlesung 


Einerkomplement 



• Für die Einerkomplementdarstellung wird bitweise invertiert 

0000 = 0 

0001 = 1 

0010 = 2 

0011 = 3 

0100 = 4 

0101 = 5 

0110 = 6 

0111 = 7 

• MSB gibt Vorzeichen an 

Vorlesung 


11



Einerkomplement – Codierung 

• Das Einerkomplement eines Codewortes bzw. einer 

– Bitfolge b n-1 

...b 0 

ist die Bitfolge e n-1 

...e 0 

, 

– bei der jedes Bit invertiert wurde, d.h. e i 

= 1 - b i 

für alle i. 

• Die n – stellige Einerkomplement-Codierung 

(Einerkomplementdarstellung) bildet ab: 

+x > 0 Binärcode (x), mit führenden Nullen auf n Bits 

aufgefüllt. 

-x < 0 Binärcode (x), mit führenden Einsen auf n Bits 

aufgefüllt. 

• Beispiel: ____________________ 

• Beim Addieren in der Einerkomplement-Darstellung wird 

– zunächst das übliche Additionsschema 

____________________________________ angewandt. 

– Falls aus der höchsten Stelle ein Übertrag entsteht, muss dieser 

jedoch ________________________________________________ 

Vorlesung 


Zahlenkreis im Einerkomplement 



• Eigenschaften 

– _______________________ 

– _______________________ 

– ___________________ 

• Ziel: Beseitigung der 

Redundanz 

1 

1111 0000 

1110 

1101 -1 -0 0 

0001 

0010 

1010 -6 6 

-7 7 

0101 

-2 

2 

1100 

1011 

-3 

-4 


3 

4 

0011 

0100 

-5 

5 

1001 

0110 

1000 0111 

Vorlesung 


12




• Beschränkt man sich auf Zahlen ohne Nachkommastellen, 

folgt aus der Definition des Einerkomplements: 

–Die Bitfolge z n-1 

z n-2 

... z 1 

z 0 

repräsentiert die Binärzahl 

• Beispiel: 

0 

-2 n-1 -1 2 n-1 -1 

__________________ 

_________________________________________ 

_________________________________________ 

Vorlesung 





• Bereich zur Darstellung nichtnegativer Zahlen: 

– [ ________________ ] im normalen Stellensystem 

– BSP: _______________________ 

• Bereich zur Darstellung negativer Zahlen: 

– [ _________________ ] codiert durch 2 n – |X| – 1 

– BSP: 

___________________________________________________ 

• _____________________________ 

– ____ 

– ____ 

Vorlesung 


13




• Sind beide Operanden positiv und 

– MSB des Resultats ist 1 ________ 

• Sind beide Operanden negativ 

– wird ein „end-around-carry“ addiert. 

– Ist das MSB des Resultats 0 ________ 

• Sind die Vorzeichen der Operanden unterschiedlich und es 

entsteht kein Übertrag in der MSB-Stelle 

– ________________________. 

• Ansonsten wird das „end-around-carry“ addiert, um das 

korrekte Ergebnis zu erhalten. 

– _________________________________. 

Vorlesung 


Beispiele 




• Ein Überlauf tritt auf: 

– ______________________________________________ 

– ______________________________________________ 

+3 0011 

+4 0100 

+ 

7= 0111 

-2 1101 

-5 1010 

+ 

‘0111 

-7= 1000 

+6 0110 

-3 1100 

+ 

‘0010 

3= 0011 

+4 0100 

-7 1000 

+ 

-3= 1100 

-2 1101 

-6 1001 

+ 

‘0110 

+7= 0111 

+5 0101 

+6 0110 

+ 

-4= 1011 

-7 1000 

-7 1000 

+ 

‘0000 

+1= 0001 

+7 0111 

+7 0111 

+ 

-1= 1110 

Vorlesung 


14

Übersicht 



• Kapitel 2 








Vorlesung 


Zweierkomplement 



• Das Zweierkomplement einer Binärzahl wird gebildet durch 

– ___________________ 

– ______________________________ 

0000 = 0 

0001 = 1 

0010 = 2 

0011 = 3 

0100 = 4 

0101 = 5 

0110 = 6 

0111 = 7 

Vorlesung 


15



Zweierkomplement-Codierung 

• Das Zweierkomplement eines Codewortes bzw. einer 

Bitfolge b n-1 ...b 0 wird gebildet, _______________________ 

_____________________ 

• Dies enthält gewissermaßen die Korrekturaddition aus der 

Einerkomplement-Darstellung. 

• Die n-stellige Zweierkomplement-Codierung 

(Zweierkomplementdarstellung) bildet ab: 

+x > 0 Binärcode (x), mit n Stellen dargestellt, also ggf. 

mit führenden Nullen aufgefüllt. 

-x < 0 Zweierkomplement (n-stelliger Binärcode (x)). 

• Beispiel: _______________________________ 

Vorlesung 




Eigenschaften I 

• Beschränkt man sich auf Zahlen ohne Nachkommastellen, folgt 

aus der Definition des Zweierkomplements: 

–Die Bitfolge z n-1 

z n-2 

... z 1 

z 0 

repräsentiert die Binärzahl 


• Eigenschaften: 

–_____________________________ 

–_____________________________ 

–_______________ 

Vorlesung 


16

Eigenschaften II 



• Bereich zur Darstellung nichtnegativer Zahlen: 

– [ 0, 2 n-1 – 1 ] im normalen Stellensystem 

– BSP: n=4 0000 … 0111 

– Kein Unterschied zum Einerkomplement 

• Bereich zur Darstellung negativer Zahlen: 

– [ -(2 n-1 ), -1 ] codiert durch 2 n – |X| 

– BSP: n=4, -6 16–6=10 = 1010 


• ____________________________________________ 

• Warum ist das korrekt? 

• Beweis: 

X = xn L 

Gegeben sei: Behauptung: − X = ( xn− Lx 

) 1 

− 1 

x 0 

1 0 

+ 

Vorlesung 


Zahlenkreis im Zweierkomplement 



1111 

0000 

0001 

1110 0 0010 

-1 1 

-2 

2 

1101 

0011 

-3 

3 

1100 


-4 

4 0100 

-5 

5 

1011 

0101 

-6 

6 

-7 7 

1010 -8 0110 

1001 

1000 

0111 

Vorlesung 


17

Zweierkomplement-Codierung 



• Für die Erkennung eines Überlaufs bei der Addition in 

Zweierkomplement-Darstellung gibt es zwei Kriterien: 

– Vorzeichen-Vergleich der Summanden und des Ergebnisses: 

• bei der Addition zweier positiver Zahlen muss das Ergebnis 

positiv sein bzw. entsprechend negativ; 

• ___________________________________________________ 

_____________________________ 

– Die Anwendung dieses Kriteriums erfordert allerdings die 

Betrachtung der Summanden, was für die automatische 

Verarbeitung unpraktisch ist. 

– Ein Überlauf ist genau dann eingetreten, wenn die beiden 

Überträge aus ________________________________ verschieden 

sind. 

Vorlesung 


Beispiele 




• Ein Überlauf tritt auf: 

– ______________________________________________ 

– ______________________________________________ 

– ____________________________________________________ 

___________________________________ 

+3 0011 

+4 0100 

+ 

7= 0111 

-2 1110 

-6 1010 

+ 

-8= 1000 

+6 0110 

-3 1101 

+ 

+3= 0011 

+4 0100 

-7 1001 

+ 

-3= 1101 

-3 1101 

-6 1010 

+ 

+7= ‘0111 

+5 0101 

+6 0110 

+ 

-5= 1‘011 

-8 1000 

-8 1000 

+ 

0= ‘0000 

+7 0111 

+7 0111 

+ 

-2= 1‘110 

Vorlesung 


18

Übersicht 



• Kapitel 2 








Vorlesung 


Weitere Darstellungsformen 



• BCD –Code 

– Binäre Codierung der Ziffern des Zahlensystems zur Basis 10 

• Gray – Code 

– Zwei benachbarte Zahlen unterscheiden sich nur in einer dualen 

Ziffer 

Vorlesung 


19

BCD Kode 



• Der "Binary Code Decimal" ist ein 

wichtiger Zahlencode. 

• Verwendung im kaufmännischen 

Bereich 

– Rundungsfehler durch 

Zahlenbasiswechsel vermieden 

– COBOL kann mit BCD umgehen 

• Als Zeichen dienen 

– Bit-Gruppen aus 0 und 1. 

binär 

0000 

0001 

0010 

0011 

0100 

0101 

0110 

0111 

1000 

1001 

dezimal 

• Dieser Code ist so aufgebaut, dass 

1010 10 

A 

jede der einzelnen Dezimalzahlen, 1011 11 

B 

nach denen wir zu rechnen pflegen, 1100 12 

C 

einfach als Dualzahl geschrieben wird. 1101 13 

D 

• Achtung: Pseudotetraden 

1110 14 

E 

– ungenutzte Kodiermöglichkeiten 1111 15 

F 

Vorlesung 


0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

hexadezimal 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

Gray-Code 



• Binär-Code 

• Gray-Code 

Vorlesung 


20

Übersicht 



• Kapitel 2 








Vorlesung 




Gleitkommadarstellung 

• Für Dezimalzahlen wird ein anderes Format 

(floating point format) verwendet, 

– das die Zahl in eine normalisierte ___________________________ 

zerlegt. 

– BSP: 

1746399,1242 wird dargestellt als 0,17463991242 × 10 7 

– Üblicherweise wird das IEEE 754 Standardformat 

(double precision) mit Länge von 64 Bit verwendet: 

• Größte darstellbare Zahl: ca. 2 1024 1,798*10 308 , 

• Größte Genauigkeit: ca. 2 -52 10 -16 , d.h. 16 Dezimalstellen 

• Rundungsfehler bei Verknüpfung von Zahlen sehr 

unterschiedlicher Größe 

Vorlesung 


21




Darstellung: V = (-1) S • m • b e ← 

___________________ 

_____________ 

___________________ 

_________________ 

• Basis in gegebener Architektur festgelegt 

• Darstellung nicht eindeutig, beispielsweise 

_________________________________________ 

• Liegt Position des Kommas fest Normalisierte Darstellung 

• Position des Kommas z.B. links von signifikantestem Bit ≠ 0 

1 > m ≥ 1 / b (nur echter Bruch) 

kleinste darstellbare Zahl 0,1 * b -n 

Vorlesung 





Darstellung: V = (-1) S • m • b e ← 

___________________ 

_____________ 

___________________ 

_________________ 

• Wertebereich (Binärdarstellung) 

• [– (1 – 2 -k ) * b n , 

+ (1 – 2 -k ) * b n ] mit 

• k : ________________________, 

• n : _______________________________ 

Vorlesung 


22



Genauigkeit 


• Vergleich des Wertebereichs mit Wertebereich gleich langer 

Festkommadarstellungen 

– Wertebereich Gleitkommadarstellung 

• ___________________________________ 

– __________________________ 

• Genauigkeit variabel: 

– Exponent klein Genauigkeit groß 

– Exponent groß Genauigkeit klein 

• Basis 

– Meist 2, 

– bei IBM 360 ff : 16 

Vorlesung 





Sign exponent mantissa 

m+n m+n -1 m m-1 

0 

• Exponentendarstellung 

– ________________________________ 

– ___________________________________________________ 

• „Hidden bit“ 

– Exponent binär und Darstellung normalisiert 

– signifikantestes Bit stets = “1“ 

– ______________________________________ 

• __________ 

Vorlesung 


23

Gleitkommadarstellung – IEEE 



• Single-Format 

– n = 8, Exzess 127,m = 23 

• Double-Format 

– n = 11, Exzess 1023, m = 52 

• Zusätzliche Sonderinterpretation 

Mantisse Exponent Bezeichnung 

M = 0 E = 0 _______________ 

M > 0 E = 0 __________________ (0,M*2 kleinste„normale“E ) 

M = 0 E = 2 n ________________ 

M > 0 E = 2 n ___ (Bsp: 0,0/0,0) 

0 < E < 2 n __________________ 

Vorlesung 


Rechenarithmetik 



• Addition und Subtraktion 

• Für jede arithmetische Operation 

– ___________________ 

– _______________________ 

– ______________ 

– __________________ 

• Achtung: Was über die 16 Stellen hinausgeht, wird 

abgeschnitten: 


• BSP: 

• 65749230736,16372 

• + 47828,00829834098 

+ 

0,6574923073616372 

0,0000004782800829834098 

0,6574927856417201 

Vorlesung 


24



• Multiplikation 

• Beide Operanden sind auf Null zu prüfen 

– Ist ein Operator Null Ergebnis auch Null 

• _______________________ 

• ____________________________ 

• Mantisse des Ergebnisses 

– Nicht unbedingt normalisiert 

– Linksverschiebung mit Exponentenanpassung 


• Rechengenauigkeit muss um eine Stelle höher sein, damit 

gültige Zahl nachgeschoben wird. 

• BSP: 60* 0,0125 = (0,6 * 10 2 ) * (0,125 * 10 -1 ) 

= (0,6 * 0,125) * 10 (2-1) 

= 0,075 * 10 1 

= 0,75 * 10 0 Rechenarithmetik 

Vorlesung 


Rechenarithmetik 



• Division 

• Dividend auf Null überprüfen 

– Ergebnis ist dann auch Null 

• Divisor auf Null überprüfen 

– Ergebnis ist dann undefiniert (NaN) 

• Falls Divisor und Dividend ungleich Null 

– ___________________________ 

– ______________________ 

• Mantisse des Ergebnisses kann größer Eins werden 

– Normalisierung durch Rechts-Shift 

• Es kann 

– Exponentenüberlauf / Exponentenunterlauf, 

– undefiniert (0/0) und 

– unendlich (x/0) auftreten. 


Vorlesung 


25

Grundlagen der Technischen Informatik - Professur Technische ...

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?